最长递增子序列的C/C++程序

简介

最长递增子序列指的是在一个给定序列中，找到一个子序列使得这个子序列是递增的，并且这个子序列的长度最长。这个问题在实际生活中有着广泛的应用，比如基因序列的匹配、读取单词和子串等。下面我们将用C/C++语言实现最长递增子序列的求解算法。

算法介绍

最长递增子序列问题（Longest Increasing Subsequence, LIS）的求解算法比较多，其中最常见的有动态规划法和贪心法。这里我们采用动态规划法来解决问题。

1. 算法思路：

动态规划法解决最长递增子序列问题的基本思路如下：

假设我们已经求得了序列中前i-1个元素的最长递增子序列长度Li-1，则对于第i个元素，我们需要找到一个最长递增子序列，使得i在这个子序列中，同时又满足这个子序列的长度L最大。

为了找到这样的一个最长递增子序列，我们可以从第1个元素开始依次遍历到第i-1个元素，寻找并记录下所有比第i个元素小的元素，并计算出以这些比i小的元素结束的最长递增子序列的长度，将这些长度中的最大值加1，就是以第i个元素结束的最长递增子序列长度Li。

最终，序列的最长递增子序列长度就是所有以i结尾的最长递增子序列长度中的最大值。

2. 伪代码：

• 设数组dp[]为当前的最长递增子序列长度，seq[]为原始序列。
• 初始时，dp[i] = 1。
• 对于每一个i，寻找比i小的元素j，若seq[j] < seq[i]，则比较dp[i]和dp[j] + 1的大小关系。
• 更新dp[i] = max{ dp[i], dp[j] + 1 }，其中j的范围为0到i-1。
• 最终结果为所有dp[i]中的最大值。

代码实现

下面是对于最长递增子序列的C++代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int sequence[1000]; //原始序列
int dp[1000]; //存储最长递增子序列
int length; //原始序列长度

int main() {
    // 读入序列长度和序列本身
    cin >> length;
    for (int i = 0; i < length; i++)
        cin >> sequence[i];

    // 初始化dp数组
    for (int i = 0; i < length; i++)
        dp[i] = 1;

    // 寻找以i结尾的最长递增子序列长度
    for (int i = 1; i < length; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (sequence[j] < sequence[i]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }

    // 获取最长递增子序列的长度
    int max_len = dp[0];
    for (int i = 1; i < length; i++)
        max_len = max(max_len, dp[i]);

    cout << max_len << endl; //输出最长递增子序列的长度

    return 0;
}

总结

最长递增子序列问题是一个比较常见的问题，使用动态规划法可以很方便地求解最长递增子序列的长度。通过实现代码，我们可以更加深入地理解该问题的求解思路，以及动态规划方法的具体应用。