最长的算术级数 | DP-35

简介

最长的算术级数是一道动态规划问题，目的是在给定数字序列中找出最长的连续数字子序列，使得子序列中的数字之间的差值为定值（公差）。

问题描述

给定一个数字序列 $a_1, a_2, ..., a_n$，你需要找出序列中最长的子序列 $a_i, a_{i+1}, ..., a_j$，使得对于任意 $k\in[i,j]$，有 $a_{k+1}-a_k=a_{i+1}-a_i$，其中 $1\le i\le j\le n$。

算法思路

本问题可以用动态规划算法解决。定义状态 $dp_i$ 表示以 $a_i$ 结尾的最长算术级数长度。对于每个 $dp_i$，我们在 $[1, i-1]$ 的范围内找到最后一个数 $a_j$，使得 $a_i-a_j=a_j-a_{j-1}$。则对于 $dp_i$，有以下两种情况：

• $a_i-a_j=a_j-a_{j-1}$，即 $a_{j-1}, a_j, a_i$ 为一组算术级数，因此 $dp_i=dp_j+1$。
• 无法找到满足上述条件的 $a_j$，即在 $[1, i-1]$ 的范围内不存在公差与 $a_i$ 对应的算术级数，此时 $dp_i=2$（因为一个子序列中至少要有两个数）。

最终，我们需要在所有状态 $dp_i$ 中找到最大值，即为所求的最长算术级数长度。

代码实现

下面是基于 Python 3 的实现代码：

def longest_arithmetic_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    if n < 2:
        return n

    dp = [2] * n
    ans = 2

    for i in range(2, n):
        for j in range(i-1):
            if nums[i] - nums[j] == nums[j] - nums[j-1]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
        ans = max(ans, dp[i])

    return ans

复杂度分析

本算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 表示数字序列的长度。因为我们需要枚举每一对数，计算它们的差值，并比较是否相等。

空间复杂度为 $O(n)$，因为我们需要一个一维数组 $dp$ 存储状态。