计算获得奇数总和的方法数量

如果给你一个数组，问你其中奇数的总和有多少种不同的获取方式，你会怎么做呢？

解法思路

一个朴素的思路是暴力求解，即枚举所有可能的子序列，然后判断其奇数和是否为奇数。但是这样的时间复杂度是 $O(n^3)$，对于长度为 $n$ 的数组，当 $n$ 达到 10^3 级别时，运算量就已经非常大了。

更加高效的做法是使用前缀和。对于一个下标为 $i$ 的数，我们可以预处理出它前面有多少个奇数。每次查询区间奇数和时，只需要用前缀和差的形式快速计算即可，时间复杂度为 $O(n^2)$。这个复杂度虽然仍然不算低，但是可以通过剪枝等技巧优化。

具体来说，我们可以利用性质缩小枚举的范围。设 $s_i$ 表示数组前 $i$ 个数的奇数和，$odd$ 表示数组中奇数的个数。那么对于任意的 $(l,r)$，其奇数和为 $s_r-s_{l-1}$，必须满足以下条件：

• $s_r-s_{l-1}$ 是奇数
• $r-l+1$ 是偶数
• $odd-(s_r-s_{l-1})$ 是偶数

其中最后一个条件是利用奇数和减去 $(r-l+1)$ 中的偶数个数得到的。显然，可以预处理这些信息，使得枚举的区间数量大大减小，时间复杂度进一步降低。

代码实现

下面是使用 Python 实现的代码：

def count_odd_sum_methods(nums):
    s = [0]
    odd = 0
    for x in nums:
        s.append(s[-1] + (x & 1))
        odd += x & 1

    cnt = 0
    for i in range(1, len(nums) + 1):
        for j in range(i + 1, len(nums) + 1):
            if (s[j] - s[i-1]) & 1 == 1 and (j - i + 1) & 1 == 0 \
                    and (odd - (s[j] - s[i-1])) & 1 == 0:
                cnt += 1

    return cnt

其中 s 数组表示前缀和，odd 表示数组中的奇数个数。算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。