总和在给定范围内的子数组的数量

有时候需要对数组中的子集进行某种操作，比如计算它们的总和或平均值。本文将介绍一种方法，用于计算数组中总和在给定范围内的子数组的数量。

方法简介

该算法使用了分治思想，将数组划分成左右两个部分。对于左右两个部分分别求出其总和在给定范围内的子数组的数量，然后再求出跨越左右两部分的子数组的数量。这些数量的和即为所求的总数。

具体地，我们可以使用归并排序的思想，在每次归并的过程中计算跨越左右部分的子数组的数量。对于某个子数组 $[i,j]$，我们可以使用前缀和数组 $s$，$s_i$ 表示前 $i$ 个元素的总和，则子数组 $[i,j]$ 的总和可表示为 $s_j-s_{i-1}$。因此，对于两个已排序的子数组 $A$ 和 $B$，可以使用双指针 $i$ 和 $j$ 分别指向 $A$ 和 $B$ 的起始位置，然后不断移动指针 $i$，同时用指针 $j$ 扫描数组 $B$，求出满足 $s_j - s_i \in [lower, upper]$ 的子数组数量。

代码实现

下面是该算法的完整实现，函数 count_range_sum 的输入为数组 nums，和给定的范围 [lower, upper]，输出为总和在给定范围内的子数组的数量。

class Solution(object):
    def countRangeSum(self, nums, lower, upper):
        """
        :type nums: List[int]
        :type lower: int
        :type upper: int
        :rtype: int
        """
        def sort(lo, hi):
            mid = (lo + hi) / 2
            if mid == lo:
                return 0
            count = sort(lo, mid) + sort(mid, hi)
            i = j = mid
            for left in nums[lo:mid]:
                while i < hi and nums[i] - left <  lower: i += 1
                while j < hi and nums[j] - left <= upper: j += 1
                count += j - i
            nums[lo:hi] = sorted(nums[lo:hi])
            return count
        nums = [0] + list(accumulate(nums))
        return sort(0, len(nums))

该算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$。