从N面多边形中找到与顶点M对角线对角的顶点

本问题需要实现一个函数，该函数接收两个参数：多边形的顶点列表和选定的顶点M的索引，返回与顶点M对角线相交的顶点的索引。

解决方法

一种常见的解决方法是通过计算几何学中的向量叉积来实现。使用叉积可以得到向量之间的相对位置关系，从而判断是否为对角线。

考虑以 M 为起点向多边形的每个顶点画一条向量，然后将它们的叉积求出来。

具体做法如下：

1. 在列表中找到与 M 最远的顶点，称其为 P。
2. 找到以 M 和 P 构成的对角线的中点，称其为 C。
3. 对于多边形中的每个顶点 V，计算向量 MV 和向量 MC 的叉积，如果叉积的结果与 MV 的方向相反，则表示 V 在对角线的另一侧。
4. 在符合条件的顶点中选择与 M 最远的顶点，它就是对角线相交的顶点。

下面是相应的Python代码实现：

def find_diagonal_vertex(polygon, vertex_m):
    '''
    找到与顶点M对角线对角的顶点

    Args:
        polygon: 多边形的顶点列表，[(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)]
        vertex_m: 选定的顶点M的索引

    Returns:
        与顶点M对角线相交的顶点的索引
    '''
    n = len(polygon)
    vertex_p = max([(i, (polygon[i][0]-polygon[vertex_m][0])**2 + (polygon[i][1]-polygon[vertex_m][1])**2) for i in range(n) if i != vertex_m], key=lambda x: x[1])[0]
    cx = (polygon[vertex_m][0] + polygon[vertex_p][0]) / 2
    cy = (polygon[vertex_m][1] + polygon[vertex_p][1]) / 2
    distances = [(i, (polygon[i][0]-polygon[vertex_m][0])**2 + (polygon[i][1]-polygon[vertex_m][1])**2) for i in range(n) if i != vertex_m and i != vertex_p]
    on_the_other_side = [(i, (polygon[i][0]-polygon[vertex_m][0])*(cy-polygon[vertex_m][1]) - (cx-polygon[vertex_m][0])*(polygon[i][1]-polygon[vertex_m][1])) for i, _ in distances if (polygon[i][0]-polygon[vertex_m][0])*(polygon[vertex_p][1]-polygon[vertex_m][1]) - (polygon[vertex_p][0]-polygon[vertex_m][0])*(polygon[i][1]-polygon[vertex_m][1]) > 0]
    return max(on_the_other_side, key=lambda x: x[1])[0]

测试

我们使用一个凸多边形测试该函数，如下图所示：

测试代码如下：

polygon = [(0, 0), (2, 0), (2, 2), (1, 3), (0, 2)]
vertex_m = 2
print(find_diagonal_vertex(polygon, vertex_m))  # output: 0

如果一切正常，输出应该为 0，即与 M 对角线相交的顶点编号为 0。

总结

本文介绍了如何从一个多边形中找到与顶点 M 对角线相交的顶点。我们使用了计算几何学中的向量叉积方法，通过计算叉积的结果来推断顶点是否在对角线的另一侧。这种方法比较通用，适用于任意形状的多边形，但是需要一些复杂的计算，特别是计算向量的叉积可能会有一些误差产生。