从两个给定的顶点中找到一个正方形的剩余顶点

在计算机图形学和计算几何学中，我们经常需要解决从已知的若干个顶点中，寻找满足某种条件的点的问题。其中，从两个给定的顶点中找到一个正方形的剩余顶点是一个常见的问题。

问题描述

给定一个平面直角坐标系上的两个点，求出与这两个点组成正方形的剩余顶点。

解决方案

对于该问题，我们需要考虑两个给定点的坐标关系。假设给定的两个点分别为 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$，则可以得到以下四个条件：

1. 正方形的边长为 $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
2. 正方形的中心点为 $C(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$。
3. 以 $P_1$ 为基准点将正方形的边顺时针方向旋转 $90^\circ$。
4. 以 $P_1$ 为基准点将正方形的边逆时针方向旋转 $90^\circ$。

根据以上条件，我们可以得到正方形的四个点坐标。具体实现代码见下：

from typing import Tuple
import numpy as np

def find_remaining_vertex(p1: Tuple[float, float], p2: Tuple[float, float]) -> Tuple[float, float]:
    # 正方形的边长
    d = np.sqrt((p2[0] - p1[0])**2 + (p2[1] - p1[1])**2)
    
    # 正方形的中心点坐标
    center = ((p1[0] + p2[0])/2, (p1[1] + p2[1])/2)
    
    # 顺时针旋转向量 (p2 - p1)，并归一化
    v1 = np.array([p2[0] - p1[0], p2[1] - p1[1]])
    v1 = v1 / np.linalg.norm(v1)
    # 逆时针旋转向量 (p2 - p1)，并归一化
    v2 = np.array([-v1[1], v1[0]])
    
    # 正方形的四个顶点坐标
    p3 = center + d/2 * v1 + d/2 * v2
    p4 = center - d/2 * v1 + d/2 * v2
    p5 = center - d/2 * v1 - d/2 * v2
    p6 = center + d/2 * v1 - d/2 * v2
    
    # 返回与给定的两个顶点组成正方形的剩余顶点
    if p1 == p3 or p1 == p4 or p1 == p5 or p1 == p6:
        return p2
    else:
        return p1

思路解析

以上代码实现的思路遵循以下步骤：

1. 计算正方形的边长和中心点坐标。
2. 分别找到顺时针方向和逆时针方向旋转 $90^\circ$ 后的向量，并归一化。
3. 以正方形的中心点为起点，将向量与边长的 1/2 相乘得到正方形的四个顶点坐标。

最后需要注意的是，从四个顶点中找到与给定的两个顶点不同的顶点作为答案即可。

总结

在计算机图形学和计算几何学中，从已知的若干个顶点中找到满足某种条件的顶点是经常需要用到的问题。通过以上代码实现，我们可以快速解决找到与给定的两个顶点组成正方形的剩余顶点的问题。