找到具有给定 3 个顶点的矩形的第四个顶点的坐标

在计算机图形学和计算几何中，经常需要找到包含给定顶点的矩形，然后计算矩形的四个顶点。

与三角形类似，一个矩形可以由四个点确定。当给定三个点时，可以通过计算第四个点的坐标来确定矩形。

算法

给定三个点 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$ 和 $(x_3,y_3)$，以下是计算第四个点 $(x_4,y_4)$ 的算法：

1. 计算边长 $d_1$ 和 $d_2$，分别为点 1 和点 2、点 2 和点 3 之间的距离。

$$d_1 = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$$

$$d_2 = \sqrt{(x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2}$$

2. 计算线段 $AB$ 和 $BC$ 的中点，分别为 $M(x_{AB},y_{AB})$ 和 $N(x_{BC},y_{BC})$。

$$x_{AB} = (x_1 + x_2)/2, y_{AB} = (y_1 + y_2)/2$$

$$x_{BC} = (x_2 + x_3)/2, y_{BC} = (y_2 + y_3)/2$$

3. 计算线段 $AB$ 和 $BC$ 的垂线，分别为 $L_{AB}$ 和 $L_{BC}$。$L_{AB}$ 和 $L_{BC}$ 在 $M$ 和 $N$ 处相交。

$$L_{AB} = - (x_2 - x_1)/(y_2 - y_1)\L_{BC} = - (x_3 - x_2)/(y_3 - y_2)$$

4. 计算 $d_3$，它是 $L_{AB}$ 和 $L_{BC}$ 的长度。

$$d_3 = \sqrt{(L_{AB} - L_{BC})^2 + 1}$$

5. 计算点 $D$ 的坐标 $(x_4,y_4)$。

$$x_4 = x_{BC} + d_1/d_3 \times sgn((y_1 - y_2)/(x_1 - x_2) - (y_2 - y_3)/(x_2 - x_3))$$

$$y_4 = y_{BC} + d_2/d_3 \times sgn((y_2 - y_3)/(x_2 - x_3) - (y_1 - y_2)/(x_1 - x_2))$$

其中，

$$sgn(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \ 0, & x = 0 \ 1, & x > 0 \end{cases}$$

示例

假设有三个点：$(1,1)$、$(3,3)$ 和 $(4,1)$。我们可以使用上述算法计算出矩形的第四个点：

$$d_1 = \sqrt{(1- 3)^2 + (1 - 3)^2} = 2\sqrt{2}$$

$$d_2 = \sqrt{(3-4)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{5}$$

$$x_{AB} = (1 + 3)/2 = 2, y_{AB} = (1 + 3)/2 = 2$$

$$x_{BC} = (3 + 4)/2 = 3.5, y_{BC} = (3 + 1)/2 = 2$$

$$L_{AB} = - (3 - 1)/(3 - 1) = 1, L_{BC} = - (4 - 3)/(1 - 3) = 0.5$$

$$d_3 = \sqrt{(1 - 0.5)^2 + 1} = \sqrt{5}/2$$

$$x_4 = 3.5 + 2\sqrt{2}/(\sqrt{5}/2) \times sgn((1 - 3)/(1 - 3) - (3 - 1)/(3 - 1)) \approx 4.5858$$

$$y_4 = 2 + \sqrt{5}/(\sqrt{5}/2) \times sgn((3 - 1)/(3 - 1) - (1 - 3)/(1 - 3)) \approx 0.5858$$

因此，第四个点的坐标约为 $(4.5858,0.5858)$。

总结

这里介绍了一种方法来计算具有给定 3 个顶点的矩形的第四个顶点的坐标。当然，这个方法只适合于找到矩形的情况。对于更复杂的形状，可能需要使用不同的技术来计算缺失的点。