以标准形式重写圆的方程：x ² + y ² + 6x – 4y – 12 = 0

圆锥这个词的意思是与圆锥有关的东西。圆锥是一个 3D 图形，现在成像一个平面，任何通过圆锥的平面，两者之间的相交曲线会产生不同的圆锥截面。圆锥曲线一般有 3 种基本类型，椭圆、抛物线和双曲线。为什么没有提到圈子？这是因为圆是一种特殊类型的椭圆，具有相等的 x 和 y 系数。描述所有圆锥曲线的方程为，ax ² + 2hxy + by ² + 2gx + 2fy + c = 0，其中 a、b 不能同时为 0。

上述方程是圆锥曲线的一般方程。基于 a、b 和 h 的值，该等式说明了它所代表的圆锥截面的类型。

圆圈

圆被定义为与平面上的固定点等距的每个点的轨迹。在用于表示任何类型圆锥的一般方程中，也可以形成圆方程。如果 a = b 且 h = 0，

然后得到一个圆，方程将变为ax ² + ay ² + 2gx + 2fy +c = 0。这就是圆的一般方程。也可以改写如下，

x ² + y ² + 2gx/a + 2fy/a + c/a = 0

或者，(x + g/a) ² + (y + f/a) ² = (g/a) ² + (f/a) ² – c/a ⇢ (1)

这个圆的中心在 (-g/a, -f/a) 并且圆的半径是$\sqrt{((g/a)^2 + (f/a)^2 -c/a)}$

如果圆的中心在 (0, 0) 原点。圆的方程将是 x ² + y ² = 1

以标准形式写出圆的方程 x ² + y ² + 6x – 4y – 12 = 0

解决方案：

In the question, It is asked to write the equation of the circle in standard form. The equation given is x² + y² + 6x – 4y – 12 = 0. From the equation itself, it can be said that this is an equation of a circle since the coefficients of x and y are equal. This equation can be rewritten as follows:

(x + 3)² – 9 + (y – 2)² – 4 – 12 = 0

Or, (x + 3)²  + (y – 2)² = 25 

Or, (x + 3)² + (y – 2)² = 5²

示例问题

问题 1：写出标准形式的圆方程 x ² + y ² – 6x – 8y – 1 = 0

解决方案：

Compare this equation with general equation of circle which is ax² + ay² + 2gx + 2fy + c = 0

After comparing, a = 1, g = -3, f = – 4, and c = -1

Now that the values are obtained, one can easily form the standard equation of the circle by plugging the values into equation (1), 

(x – 3/1)² + (y – 4/1)² = (-3/1)² + (-4/1)² + (-1/1)

Or, (x – 3)² + (y – 4)² = 9 + 16 -1

Or, (x – 3)² + (y – 4)² = 24 

问题 2：写出以原点为原点，半径为 5 个单位的圆的方程。

解决方案：

Center at origin means the coordinate is (0, 0). The standard equation of a circle is (x – a)² + (y – b)² = r^2.   

Where (a, b) is the center of the circle and r being its radius.

Here, in the question center is (0, 0) and the radius is 5 units. therefore the equation of the circle will be,

(x – 0)² +(y – 0)² = 5²

x² + y² = 25

问题 3：写出圆心在 (5,-3) 且半径为 4 个单位的圆的方程。

解决方案：

Center at (5, -3). The standard equation of a circle is (x – a)² + (y – b)² = r².   

Therefore the equation of the circle will be (x – 5)² + (y – (-3))² = 4²

Or, (x – 5)² + (y + 3)² = 16

问题 4：找到由方程 x ² + y ² – 2x + 8y – 8 = 0 定义的圆的中心和半径。

解决方案：

The above equation can be rewritten as x² – 2x + 1 + y² + 8y + 16 = 8 + 1 +16

Or, (x – 2)² + (y + 4)² = 25

Or, (x – 2)² + (y + 4)² = 5²