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📜  用方程 (x2)/4 + (y2)/9 = 1 求出可以内接在椭圆中的最大矩形的面积

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:54:13.371000             🧑  作者: Mango

用方程 (x 2 )/4 + (y 2 )/9 = 1 求出可以内接在椭圆中的最大矩形的面积

圆锥曲线是数学的一个分支，它处理像圆、抛物线、椭圆、双曲线等曲线。这些曲线也被称为圆锥曲线或圆锥曲线，因为它们可以作为平面与双圆弧的交点获得锥体。圆锥被平面以一定的方式切割得到圆、抛物线、椭圆等。

因此，让我们讨论如何为一般方程找到椭圆中的最大矩形：

所以，让我们假设椭圆上的一个点 (acosθ, bsinθ) 那么图表将是：

现在，如果矩形我们在椭圆中创建一个矩形，它将在 x 轴和 y 轴上对称，那么矩形的长度和宽度将是：

然后，从上图：

矩形的长度 = 2acosθ

矩形的宽度 = 2bsinθ

现在矩形的面积=长*宽

A = 2acosθ * 2bsinθ

A = 2ab (2cosθsinθ) {因为 sin2θ = 2cosθsinθ}

A = 2ab sin2θ

但是我们必须最大化面积，这样我们才能得到最大的矩形面积。为此，我们计算上述方程的一阶导数并且等于 0。

dA/dθ = d(2ab sin2θ)/dθ

dA/dθ = 2ab (2cos2θ)

dA/dθ = 4abcos2θ

等式等于 0 我们得到

4abcos2θ = 0

cos2θ = 0

2θ = π/2

θ = π/4

现在要检查在这个角度上矩形的面积是最大还是最小，我们必须再次计算方程的微分：-

d(dA/dθ)/dθ = d(4abcos2θ)/dθ

d 2 A/dθ 2 = 4ab (-2sin2θ)

因为，d 2 A/dθ 2 < 0 即二阶导数为负

由于二阶导数为负，因此给定角度为最大角度，并且该角度的值最大。

因此最大矩形的面积为 A = 2ab sin2(π/4)

其中a是椭圆长轴的一半，b是椭圆短轴的一半。

用方程 (x 2 )/4 + (y 2 )/9 = 1 求出可以内接在椭圆中的最大矩形的面积。

解决方案：

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