可以刻在椭圆上的最大正方形的面积

在平面几何中，有一道经典问题就是如何在椭圆上刻出最大的正方形。此问题的解法与椭圆的性质有关，需要一些数学知识进行解析。

椭圆的性质

椭圆是一个平面上的几何图形，它的形状接近于一个椭球，具有以下性质：

• 椭圆中心为零点或某个已知点；
• 椭圆上任意一点到中心的距离和另一个点到中心的距离之和相等；
• 椭圆周长为$4aE(e)$，其中$a$为长轴长度，$E(e)$为第二类椭圆积分，$e$为椭圆的离心率。

最大正方形的求解

假设椭圆的长轴长度为$a$，短轴长度为$b$，则该问题的解法可以分为以下几个步骤：

1. 首先，取正方形的边长为$d$，则该正方形的面积$S=d^2$；
2. 接着，将该正方形在椭圆内滑动，直至其顶点触及椭圆边界，如下图所示。此时，在椭圆内可使正方形同时切到两点，此时会有类似“把斜线对折”的感觉。

![image1](https://i.ibb.co/SBt7JrK/image.png)

3. 在此时，可以发现该正方形的两条对角线分别与椭圆相切，且相切点分别在椭圆的长轴和短轴上。因此，该正方形的对角线长为$d'$，可利用勾股定理求得：

$$d'^2=d^2+\frac{(a^2-b^2)d^2}{b^2}$$

4. 需要最大面积的正方形。将$d'$代入$S=d'^2$，得到：

$$S=\frac{4a^2d^2}{4a^2+b^2d^2}$$

5. 针对原问题，需要求解的是$S$的最大值，因此需要对$S$求导数：

$$S'=\frac{8a^3bd^3}{(4a^2+b^2d^2)^2}$$

6. 将$S'$令为0，得到$d=\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$，可知此时正方形的面积为：

$$S_{max}=\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}$$

代码实现

Python实现

import math

def max_square_area(a, b):
    d = 2 * a * b / math.sqrt(a ** 2 + b ** 2)
    return 4 * a ** 2 * b ** 2 / (a ** 2 + b ** 2)

JavaScript实现

function maxSquareArea(a, b) {
    const d = 2 * a * b / Math.sqrt(a ** 2 + b ** 2);
    return 4 * a ** 2 * b ** 2 / (a ** 2 + b ** 2);
}

以上代码实现基于上述分析，可用于求解给定长轴长度和短轴长度的椭圆上可以刻出的最大正方形面积。