矩形中最大面积的正方形数

在一个给定的矩形中，找到面积最大的正方形，返回该正方形的面积。

思路

首先，我们需要明确一个问题：什么样的正方形算作矩形中的正方形？

这里，我们定义一个正方形必须满足以下条件才能算作矩形中的正方形：

• 它的四个角都在矩形内部；
• 它的所有边都与矩形的边平行。

那么，如何求解矩形中最大面积的正方形数？

假设矩形的宽为 $w$，高为 $h$。我们可以利用动态规划的思想来解决。

定义状态 $f(i, j)$ 表示以 $(i, j)$ 为右下角的正方形的最大边长。则状态转移方程为：

$$ f(i,j)=\begin{cases} 0, &(i,j) \text{位置为 0}\ \min(f(i-1,j),f(i,j-1),f(i-1,j-1))+1,&(i,j) \text{位置为 1} \end{cases} $$

其中，当 $(i, j)$ 位置为 0 时，代表此位置无法构成正方形，因此状态为 0。

当 $(i, j)$ 位置为 1 时，我们可以利用其左边、上边以及左上角三个位置的状态来更新 $f(i, j)$。具体而言，我们取这三个位置的状态的最小值，再加上 1，即为以 $(i, j)$ 为右下角的正方形的最大边长。

我们可以利用这个边长计算出以 $(i, j)$ 为右下角的正方形的面积，然后在所有正方形中取最大值，即为矩形中最大面积的正方形的面积。

状态转移方程的时间复杂度为 $\mathcal{O}(wh)$，可以通过此算法解决规模较小的问题。

代码实现

以下是 Python 代码实现：

class Solution:
    def maximalSquare(self, matrix: List[List[str]]) -> int:
        if not matrix:
            return 0

        n, m = len(matrix), len(matrix[0])
        # 以 (i, j) 为右下角的正方形的最大边长
        f = [[int(matrix[i][j]) for j in range(m)] for i in range(n)]

        # 计算最大边长
        for i in range(1, n):
            for j in range(1, m):
                if f[i][j] == 1:
                    f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][j - 1], f[i - 1][j - 1]) + 1

        # 计算最大面积
        res = 0
        for i in range(n):
            for j in range(m):
                res = max(res, f[i][j] ** 2)

        return res

总结

矩形中最大面积的正方形数问题，可以利用动态规划算法解决，其状态转移方程为 $f(i, j)=\min(f(i-1,j),f(i,j-1),f(i-1,j-1))+1$。时间复杂度为 $\mathcal{O}(wh)$。