圆方程

在数学中，圆是一种形状，它包含平面中的所有点，并且这些点与给定点等距。给定的点称为圆的中心。换句话说，它是一条曲线，该曲线由在平面中移动的点跟踪，因此与该平面中的固定点的距离始终是恒定的。圆上的一点到圆的中心之间的距离称为圆的半径，而弦穿过圆的中心时称为直径或圆。

圆的标准方程

为了从圆上找到标准，我们假设A(h，k)是圆的中心，r是圆的半径，P(x，y)是圆周上的任意点。

然后，AP = r…..(i)

现在，使用距离公式，我们可以找到AP的值

AP = $\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2}$

现在将AP的值放在eq(i)中，我们得到

$\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2}$ = r

或平方双方，我们得到

(x – h)² + (y – k)² = r² 

这是圆周上任何点的坐标之间的关系，因此这是圆心在A(h，k)且半径等于r的圆的必要方程。现在，我们将看到圆的标准方程式的变化：

Case 1: When centre of the circle is at the origin(0, 0) and radius in r. 
h = 0 and k = 0 
On substituting in the standard equation of circle, we get 
x² + y² = r² 

Case 2: When the circle passes through the origin. 
Here, let centre be A(h, k) and O be the origin which passes through circle. 
Draw AM⊥OM 
In △AMO, OA² = OM² + AM² 
r² = h² + k² 
On substituting in the standard equation of circle, we get 
(x – h)² + (y – k)² = h² + k² 
x² + y² – 2hx – 2ky = 0 

Case 3: When circle touched x-axis 
Here, let centre be A(h, k). Since the circle touches the x-axis, 
k = r 
On substituting in the standard equation of circle, we get 
(x – h)² + (y – r)² = r² 
x² + y² – 2hx – 2ry + h² = 0 

Case 4: When circle touched x-axis 
Here, let centre be A(h, k). Since the circle touches the x-axis, 
h = r 
On substituting in the standard equation of circle, we get 
(x – r)² + (y – k)² = r² 
x² + y² – 2rx – 2ky + k² = 0 

Case 5: When the circle touched both the axes. 
Here, h = k = r 
On substituting in the standard equation of circle, we get 
(x – r)² + (y – r)² = r2 
x² + y² – 2rx – 2ry + r² = 0 

Case 6: When the circle passes through the origin and centre lies on x-axis. 
Here, k = 0 and h = r 
On substituting in the standard equation of circle, we get 
(x – r)² + (y – 0)² = r² 
x² + y² – 2rx = 0 

Case 7: When the circle passes through the origin and centre lies on y-axis. 
Here, h = 0 and k = r 
On substituting in the standard equation of circle, we get 
(x – 0)² + (y – r)² = r² 
x² + y² – 2ry = 0
 

样本问题

问题1.从给定的方程式中找到圆的中心和半径：

x ² +(y + 2) ² = 9

解决方案：

After rearranging, we get

(x – 0)² + (y – (-2))² = 3²

On comparing with the standard equation of circle, we have

h = 0, k = -2 and r = 3

So the centre of the circle is (0, -2)

and the radius of the circle = 3

问题2。根据给定的方程式求出圆的中心和半径：

x ² + y ² + 6x – 4y + 4 = 0

解决方案：

We have,

(x² + 6x) + (y² – 4y) = – 4

To make it a perfect square identity, add and subtract 9 and 4,

(x² + 6x + 9) + (y² – 4y + 4) – 9 – 4 = – 4

(x + 3)² + (y – 2)² = – 4 + 4 + 9

(x – (-3))² + (y – 2)² = 9

(x – (-3))² + (y – 2)² =3²

On comparing with the standard equation of circle, we have

h = -3, k = 2 and r = 3

So the centre of the circle is (-3, 2)

and the radius of the circle = 3

从其标准方程式绘制一个圆

众所周知，圆的标准方程为

(x – h) ² +(y – k) ² = r ²

此处，圆的中心为(h，k)，圆的半径为r。现在让我们举一个例子：

圆的方程为(x + 2) ² +(y – 6) ² = 4

我们可以将这个等式改写为

(x –(-2)) ² +(y – 6) ² = 2 ²

通过与圆的标准方程进行比较，我们得到

圆的中心是(-2，6)，圆的半径是2。

现在，我们将在图形上绘制一个圆。

步骤1：绘制x和y轴

步骤2：在图表上画出圆心(-2，6)

步骤3：从圆圈的中心沿四个方向标记任意四个点，这些点与中心之间的距离为2。

第4步：将所有这些点连接起来就可以画一个圆圈。

圆的展开式

现在，我们将找到一个圆的展开方程。因此，让我们假设A(h，k)是圆的中心，r是圆的半径，P(x，y)是圆周上的任何点。

那么AP = r…(i)

在直角△ACP中，

AP ² = AC ² + PC ²

r ² =(x – h) ² +(y – k) ²

进一步扩展，我们得到

(x – h) ² +(y – k) ² = r ²

(x ² – 2hx + h ² )+(y ² – 2ky + k ² )= r ²

如果我们将r ²带到左侧并重新排列，我们得到

圆的展开式：

x² – 2hx + h² + y² – 2ky + k² – r² = 0 

示例：使用以下公式找到圆的中心和半径：x ² + y ² – 4x + 6y = 12。

解决方案：

Given: x² + y² – 4x + 6y = 12

We can write as

(x² – 4x) + (y² – 6y) = 12

By manipulating identity, we get

(x² – 4x + 4) + (y² – 6y + 9) – 9 – 4 = 12

(x² – 4x + 4) + (y² – 6y + 9) = 12 + 9 + 4

(x – 2)² + (y – 3)² = 25

(x – 2)² + (y – 3)² = 5²

On comparing with the standard equation of circle, we have

h = 2, k = 3 and r = 5

圆的一般方程

圆的一般方程为：

x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0  

对于g，f和c的所有值。

现在，在^{等式两边加g 2} + f ² ，我们得到

(x ² + 2gx + g ² )+(y ² + 2fy + f ² )= g ² + f ² − c

As(x + g) ² = x ² + 2gx + g ²和(y + f) ² = y ² + 2fy + f ²

(x + g) ² +(y + f) ² = g ² + f ² – c

(x –(-g)) ² +(y –(-f)) ² = g ² + f ² – c…………。(1)

通过将eq(1)与标准方程式进行比较，我们得到

h = -g，k = -f

r ² = g ² + f ² -c

其中(h，k)是中心，“ r”是圆的半径。

因此，

x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0，表示圆的中心(-g，-f)，半径(r)等于r ² = g ² + f ² -c。

• 如果g ² + f ² > c，则圆的半径为实。
• 如果g ² + f ² = c，则圆的半径为零，这告诉我们圆是与中心重合的点。这种类型的圆称为点圆
• g ² + f ² 虚数。因此，它是一个具有实心和假想半径的圆。

圆的一般方程x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0的某些特征如下：

• x和y均为平方。
• x ² = y ^2的系数。 (建议将x ²和y ²的系数保持一致)
• 没有包含xy的项，即xy的系数为零。
• 它包含三个任意常量，即。 g，f和c。

样本问题

问题1.找到以(-3，-2)为中心，半径为6的圆的方程。

解决方案：

Given: h = -3, k = -2, and, r = 6

Using the standard equation of circle, 

(x – h)² + (y – k)² = r² 

(x – (-3))² + (y – (-2))² = 6²

(x + 3)² + (y + 2)² = 6²

x² + 6x + 9 + y² + 4y + 4 = 36

Hence, the required equation is

x² + y² + 6x + 4y – 23 = 0

问题2。找到半径为7，中心为原点的圆的方程。

解决方案：

Given : r = 7 and the centre = (0, 0)

Using the standard equation of circle, 

(x – h)² + (y – k)² = r² 

x² + y² = r²

x² + y² = 7²

Hence, the required equation is

x² + y² – 49 = 0 

问题3.求等式给出的圆的半径和中心

2x ² + 2y ² + 8x + 12y – 38 = 0

解决方案：

In the given equation the coefficients of x² and y² are not unity. 

Firstly, lets make them unity by dividing equation by 2,

x² + y² + 4x + 6y – 19 = 0

So, the coordinates of the centre are (-2, -3)

and, Radius = $\sqrt{(2)^2 + (3)^2 - (-19)}$

Radius = $\sqrt{32}$

Radius = 4√2

问题4.找到通过点(1、0)，(-1、0)和(0、1)的圆的方程。

解决方案：

Let the required circle be 

x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0

As, it passes through (1, 0), (-1, 0), and (0, 1). Hence, they will satisfy the equation

By substituting them, we get

1 + 2g + c = 0 ……..(1)

1 – 2g + c = 0 ……..(2)

1 + 2f + c = 0 ……..(3)

From eq(1) and (2), we get

g = 0 and c = -1

Now, putting c = -1 in eq(3), we get

f = 0

Now, substituting the values of g, f and c in the main equation, we get

x² + y² = 1

问题5.在线镜x = 0中找到圆的图像x ² + y ² + 16x – 8y + 64 = 0的方程。

解决方案：

Equation given is:

x² + y² + 16x – 8y = – 64

(x² + 16x) + (y² – 8y) = – 64

On adding and subtracting 64 and 16, we get

(x² + 16x + 64) + (y² – 8y + 16) – 64 – 16 = – 64

(x² + 16x + 64) + (y² – 8y + 16) = – 64 + 64 + 16

(x + 8)² + (y – 4)² = 16

(x – (-8))² + (y – 4)² = 4²

As, the radius of this circle is (-8, 4) and radius = 4.

The image of the circle in the line mirror will have its centre as (8, 4) and radius 4.

So, the equation will be,

(x – 8)² + (y – 4)² = 4²

x² + y² – 16x – 8y + 64 = 0