关于 Z 分数方程

一、什么是 Z 分数方程

Z 分数方程是指形如 $ax+by=c$ 的方程，其中 $a,b,c$ 均为整数，$x,y$ 均为未知数的方程。解这类方程可以使用扩展欧几里得算法得到整数解。

二、如何求解 Z 分数方程

对于 Z 分数方程 $ax + by = c$，首先需要进行一定的预处理。如果 $\gcd(a, b)$ 不能整除 $c$，则该方程无整数解。否则，可以使用扩展欧几里得算法得到一组整数解 $(x_0,y_0)$，即有 $ax_0 + by_0 = \gcd(a,b)$。根据裴蜀定理，在 $ax + by = c$ 有整数解时，$ax + by = \gcd(a,b)$ 也有整数解，并且就是 $( \frac{c}{\gcd(a,b)} \cdot x_0, \frac{c}{\gcd(a,b)} \cdot y_0)$。

如果需要求解的是 $ax + by = k$ 的形式，则可以将上述方法稍作修改：首先求得 $ax_0 + by_0 = \gcd(a,b)$（非常规的，若 $\gcd(a,b) \nmid k$ 则方程无解），然后令 $x_1=x_0 \cdot \frac{k}{\gcd(a,b)}$，$y_1=y_0 \cdot \frac{k}{\gcd(a,b)}$，则 $(x_1,y_1)$ 即为方程的一个整数解。同时，方程的所有整数解都可以表示为 $(x_1+\frac{k}{\gcd(a,b)}m, y_1-\frac{k}{\gcd(a,b)}m)$ 的形式，其中 $m$ 为任意整数。

三、例子

以下是使用 C++ 实现求解 Z 分数方程 $ax + by = c$ 的代码片段：

typedef pair<int,int> pii;

pii exgcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return make_pair(1, 0);
    pii res = exgcd(b, a % b);
    return make_pair(res.second, res.first - a / b * res.second);
}

bool solve_z_fraction_equation(int a, int b, int c, int& x, int& y) {
    int gcd = __gcd(abs(a), abs(b));
    if (c % gcd != 0) return false;
    pii res = exgcd(a, b);
    x = c / gcd * res.first;
    y = c / gcd * res.second;
    if (a < 0) x = -x;
    if (b < 0) y = -y;
    return true;
}

其中 exgcd 函数是扩展欧几里得算法的实现，solve_z_fraction_equation 函数可以返回是否有整数解，并将一组解保存在 x 和 y 中。

四、总结

Z 分数方程虽然不同于普通的线性方程组，但其求解方法与一般情况相比没有本质区别。掌握扩展欧几里得算法以及裴蜀定理是解决该问题的关键。