到达终点的最小斐波那契跳跃次数

什么是斐波那契数列？

斐波那契数列是指：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

问题描述

给定一个非负整数数组 nums，你最初位于数组的第0个位置。数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。你的目标是使用最少的跳跃次数到达数组的最后一个位置。假设你总能到达数组的最后一个位置。

问题分析

问题可以转换为动态规划问题。我们用dp[i]表示到达位置i需要的最少次数。则状态转移方程为 $$dp[i] = \min_{j=0}^{i-1}{dp[j]} + 1, 且i - j \leq nums[j]$$ 其中 $nums$ 数组表示可以跳跃的最大长度。

另外，我们可以对状态转移方程进行优化，因为当 $j$ 从小到大遍历时， $i$ 不断递增，所以可以用一个变量 $k$ 表示满足条件的最大下标，即 $j + nums[j] \geq k$。因此状态转移方程可以进一步优化为： $$dp[i] = dp[k] + 1$$ 其中 $k$ 是满足条件的最大下标。

代码实现

下面是代码实现，其中用变量 $k$ 表示最大下标。

class Solution:
    def jump(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        dp = [float('inf')] * n
        dp[0] = 0
        k = 0
        for i in range(1, n):
            while k + nums[k] < i:
                k += 1
            dp[i] = dp[k] + 1
        return dp[-1]

总结

本文介绍了一个动态规划问题，即到达终点的最小斐波那契跳跃次数。通过分析问题，我们可以得到状态转移方程，并对其进行优化，使时间复杂度为 $O(n)$。