斐波那契跳到终点的最小次数

斐波那契跳是一种跳跃游戏，游戏规则如下：从跳板起点开始，每次跳跃可以选择跳1或跳2的步数，跳到的下一个跳板位置是当前位置加上斐波那契数列中的下一个数。例如，从位置0开始，第一次跳1步到位置1，第二次跳2步到位置3，接着跳3步到位置6，再跳5步到位置11。游戏的目标是跳到终点。

现在给出终点位置，你的任务是计算出跳到终点的最小次数。

解法分析

要求跳到终点的最小次数，通常可以考虑使用动态规划。简单分析一下斐波那契跳的特点，我们可以发现：

• 从位置0出发，第一次跳1步，之后每一次都跳2步，因为斐波那契数列中相邻两项的比例在无限接近于黄金分割数。
• 如果当前位置为x，则下一次跳跃所到达的位置为x+F(k)，其中F(k)表示斐波那契数列中第k个数。

有了这些特点，我们可以列出状态转移方程：

dp[i] = min(dp[i - F(k)] + 1 for k in range(len(F)) if i >= F[k])

其中dp[i]表示跳到位置i所需的最小次数，F是斐波那契数列。我们从小到大递推计算dp数组的值，最后得到dp[n]即为跳到终点的最小次数。

代码实现

def fib_jump(n):
    F = [0, 1]
    dp = [float('inf')] * (n + 1)
    dp[0] = 0
    for i in range(2, n+1):
        F.append(F[-1] + F[-2])
    for i in range(1, n+1):
        dp[i] = min(dp[i - F[k]] + 1 for k in range(len(F)) if i >= F[k])
    return dp[n]

性能分析

时间复杂度：由于状态转移方程中需要枚举每个斐波那契数列中的数，因此需要计算O(nF(k))次状态转移，其中F(k)表示小于等于n的最大斐波那契数。根据斐波那契数列的递推公式，可以得到F(k) = O(logn)，因此总时间复杂度为O(nlogn)。

空间复杂度：需要一个长度为n的dp数组和一个长度为k的F数组，因此空间复杂度为O(n+k)。