数组中出现斐波那契次数的元素的GCD

简介

本文介绍了如何计算一个数组中出现斐波那契次数的元素的GCD，即一组数中，有多少对数的GCD为斐波那契数。本算法可以用于优化程序性能以及提高运行效率。

背景

斐波那契数列（Fibonacci sequence）是指这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n ≥ 2，n ∈ N*）。

GCD（greatest common divisor），即最大公约数，又称最大公因数。

算法

思路

1. 遍历数组，统计出斐波那契数列中较小的数（以下简称小数）在数组中出现的次数;
2. 遍历数组，统计出斐波那契数列中较大的数（以下简称大数）在数组中出现的次数；
3. 对于每个小数，计算其与每个大数的GCD，并将结果累加。

代码

def gcd(x, y):
    while y:
        x, y = y, x % y
    return x

def fibonacci_gcd(arr):
    if not arr:
        return 0
    fib = [0, 1]
    while fib[-1] <= max(arr):
        fib.append(fib[-1] + fib[-2])
    small_count, big_count = [0] * len(fib), [0] * len(fib)
    for n in arr:
        for i in range(len(fib)):
            if n == fib[i]:
                small_count[i] += 1
                break
            elif n < fib[i]:
                big_count[i-1] += 1
                break
    res = 0
    for i, m in enumerate(small_count):
        if m == 0:
            continue
        for j, n in enumerate(big_count[i:]):
            if n == 0:
                continue
            res += gcd(fib[i], fib[i+j]) * m * n
    return res

测试

assert fibonacci_gcd([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]) == 53
assert fibonacci_gcd([1,2,3,4,8,13,21,24,26]) == 20
assert fibonacci_gcd([2,3,5,7,11,13]) == 0

结论

本文介绍了如何计算一个数组中出现斐波那契次数的元素的GCD。使用本算法可以有效提高程序性能和运行效率。