使用 O(1) 额外空间合并和 O(n log n) 时间进行合并排序

合并排序是一种常见的排序算法，它的时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是待排序数组的大小。合并排序的基本思路是将待排序数组分成两个子数组，对每个子数组进行排序，然后将排好序的子数组合并成一个有序数组。

合并排序通常需要额外的空间来存储排好序的子数组，但是如果我们只有 O(1) 的额外空间，该怎样进行合并排序呢？本文将介绍一种使用 O(1) 额外空间合并和 O(n log n) 时间进行合并排序的方法。

合并排序的思路

合并排序的思路比较简单，具体步骤如下：

1. 将待排序数组分成两个子数组。
2. 对每个子数组进行排序。
3. 将排好序的子数组合并成一个有序数组。

这个思路看起来很简单，但是第三个步骤是如何实现的呢？通常的合并排序算法需要额外的空间来存储排好序的子数组，然后再进行合并。但是如果我们只有 O(1) 的额外空间，该怎样进行合并呢？

使用 O(1) 额外空间合并的思路

为了实现使用 O(1) 额外空间合并的合并排序算法，我们需要使用一种叫做“三指针法”的技巧。具体来说，我们需要三个指针 i、j 和 k，分别指向待合并数组的左半部分、右半部分和结果数组。然后我们依次比较 i 和 j 指针指向的元素，将较小的元素放到结果数组中并将其指针后移。最后，如果还有剩余的元素，将它们直接放到结果数组的后面。

使用 O(1) 额外空间合并的代码实现

下面是使用 O(1) 额外空间合并的合并排序算法的代码实现：

def merge(arr, l, m, r):
    i, j, k = l, m+1, l

    while i <= m and j <= r:
        if arr[i] <= arr[j]:
            arr[k] = arr[i]
            i += 1
        else:
            arr[k] = arr[j]
            j += 1
        k += 1

    while i <= m:
        arr[k] = arr[i]
        i += 1
        k += 1

    while j <= r:
        arr[k] = arr[j]
        j += 1
        k += 1

def merge_sort(arr):
    n = len(arr)
    curr_size = 1

    while curr_size < n-1:
        left = 0
        
        while left < n-1:
            mid = left + curr_size - 1
            right = ((2 * curr_size + left - 1, n-1)[2 * curr_size + left - 1 > n-1])
            merge(arr, left, mid, right)
            left += 2 * curr_size

        curr_size *= 2

在上面的代码中，我们使用了“三指针法”来实现了使用 O(1) 额外空间合并的合并排序算法。具体来说，merge 函数中的 i、j 和 k 分别代表了左半部分、右半部分和结果数组的指针，三者的初始值分别为 l、m+1 和 l。在 while 循环中，我们比较 i 和 j 指针指向的元素，将较小的元素放到结果数组中并将其指针后移，最后处理剩余元素的情况。在 merge_sort 函数中，我们使用 curr_size 来表示当前的子数组大小，用 left、mid 和 right 分别表示左半部分、右半部分和结果数组的起始位置。

总结

本文介绍了一种使用 O(1) 额外空间合并的合并排序算法，以及这个算法的实现。使用 O(1) 额外空间合并的合并排序算法时间复杂度为 O(n log n)，空间复杂度为 O(1)，比通常的合并排序算法更为节省空间。