所有子数组的按位或的总和

在这里我们将讨论如何计算一个数组中所有子数组的按位或的总和。这个问题可以通过暴力枚举所有子数组进行位运算，但是这种方法的时间复杂度较高，无法满足大规模数据的处理。下面介绍两种更为高效的算法。

算法一：位运算+动态规划

通过观察发现，对于数组中的任意一个数x，其与前一个数y的按位或结果是y、x或的结果，即 y | x，所以我们可以利用这个性质来设计动态规划算法。

用dp[i]表示以第i个数为结尾的所有子数组的按位或的总和，则有dp[i] = dp[i-1] | a[i]。最终的结果即为 dp[0] | dp[1] | ... | dp[n-1]。

算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。

def bitwiseORSum(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    result = dp[0]
    for i in range(1, n):
        dp[i] = dp[i-1] | nums[i]
        result |= dp[i]
    return result

算法二：位运算+分治

可以发现，对于数组中的所有数，它们的按位或的结果可以表示为每个数二进制位上最高位(左边第一位)~最低位(右边第一位)的按位或结果，即a[0] | a[1] | ... | a[n-1]。

所以我们可以利用这个性质，将原数组分成两个子数组，再分别计算它们两个的按位或之和，然后将它们的按位或结果再按照相同方式分成两半，依此递归直到无法分解成子数组，最终结果即为所有子数组按位或之和的结果。

算法的时间复杂度为O(n log max_num)，其中max_num为数组中的最大元素值，空间复杂度为O(log n)。

def bitwiseORSum(nums: List[int]) -> int:
    def divideAndConquer(l, r):
        if l == r:
            return nums[l]
        mid = (l + r) // 2
        left = divideAndConquer(l, mid)
        right = divideAndConquer(mid+1, r)
        return left | right
    
    return divideAndConquer(0, len(nums)-1)

总结

以上两种算法分别利用了动态规划和分治的思想，相比暴力枚举，时间复杂度大大降低，可以满足大规模数据的处理。需要注意的是，在算法二中，由于分治需要递归调用，因此需要考虑内存溢出的问题。