所有子数组的按位与之和

在这个问题中，给定一个正整数数组 nums，我们需要找到所有子数组的按位与之和。

问题描述

给定一个正整数数组 nums，它包含 n 个不同的元素，其中每个元素 nums[i] 的值都是非负整数。找到所有子数组的按位与之和。

解题思路

一种直观的解法是暴力枚举所有子数组，然后对每个子数组进行按位与操作，最后求和。但是，这个做法的时间复杂度达到了 O(n^3)，因此不适用于该问题。

更优秀的解法是：我们可以依次枚举每一位，考虑在该位上，所有数的按位与之和是多少。我们可以发现，如果对于某一位，存在一个数 k，它在该位上的值为 0，那么所有在这一位上值为 1 的数的按位与之和肯定也为 0。因此，我们只需要找到那些在该位上的值都为 1 的数，然后进行按位与操作即可。

代码实现

我们可以使用两个指针 left 和 right，它们分别表示当前考虑的子数组的左右端点。对于每个 left，我们让 right 向右移动，直到所有数在当前位上的值都为 1，然后计算当前子数组按位与之和，最后将右指针 right 移回 left 的位置。

这样，我们就可以得到所有子数组的按位与之和。

具体的代码实现如下所示：

def sum_of_bitwise_and(nums: List[int]) -> int:
    res = 0
    n = len(nums)

    for i in range(30):
        left, right = 0, 0
        mask = 1 << i
        while right < n:
            if nums[right] & mask:
                right += 1
            else:
                res += (right - left) * (right - left + 1) // 2 * mask
                left = right + 1
                right = left
        if left < n:
            res += (n - left) * (n - left + 1) // 2 * mask

    return res

其中，我们使用了位运算和数学公式相结合的方法，让代码更加简洁明了。具体来说：

• mask 表示当前考虑的位。
• nums[right] & mask 表示 right 对应的数在当前位上的值。
• right - left 表示以 right 为右端点且当前位上的值都为 1 的子数组的个数。
• right - left + 1 表示以 right 为右端点但当前位上的值不全为 1 的子数组的个数。
• (right - left) * (right - left + 1) // 2 表示以 right 为右端点且当前位上的值都为 1 的子数组的按位与之和。
• (n - left) * (n - left + 1) // 2 表示以 left 为左端点且当前位上的值都为 1 的子数组的按位与之和。注意，right 已经统计了包含 left 的所有子数组的情况，因此我们只需要计算不包含 left 的子数组即可。

总结

这个问题可以使用位运算和双指针的方法解决。我们需要依次枚举每一位，然后对于每一位，使用双指针分别表示当前考虑的子数组的左右端点，统计所有子数组在当前位上的按位与之和。时间复杂度为 O(nlogC)，其中 C 表示数组中所有数的最大值。