两个数组中所有对的按位与的总和

问题描述

给定两个长度相同的数组，计算这两个数组中所有对的按位与的总和。例如，给定数组 arr1 = [1, 2, 3] 和数组 arr2 = [2, 3, 4]，它们中所有对的按位与分别为 1&2=0、1&3=1、1&4=0、2&2=2、2&3=2、2&4=0、3&2=2、3&3=3、3&4=0，其总和为 0+1+0+2+2+0+2+3+0=10。

解题思路

对于每一位上都有“与运算规则”，即两个数在相同位置上的数都为1时结果为1，否则结果为0。所以对于两个数组中每一个数，我们可以用二进制的方式将它们拆开，然后两两按位与。

注意到，无论两个数在某个特定位置上的数相不相同，在这个位置上的结果最多也就只有0或者1两种可能，而且这个位置的值只能是1或者0，所以我们可以用一个长度为32的数组 bitcount 来维护所有位置上1的个数，这个数组的初始化为0。

对于每一个数，我们将它与 bitcount 进行按位与，然后在 bitcount 上对应的位置上加上这个数在这个位置上的值。

最后，对于任意两个数组中的数 arr1[i] 和 arr2[j]，它们的对应位置的按位与结果即为 arr1[i] & arr2[j]，将结果加到答案中。

代码实现

class Solution:
    def countAndSum(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
        n = len(arr1)
        bitcount = [0] * 32
        for i in range(n):
            num = arr1[i]
            for j in range(32):
                bitcount[j] += num & 1
                num >>= 1
        ans = 0
        for i in range(n):
            num = arr2[i]
            tmp = 0
            for j in range(32):
                if num & (1 << j):
                    tmp += bitcount[j] * (1 << j)
            ans += tmp
        return ans

复杂度分析

该算法时间复杂度为 $O(32n)=O(n)$，其中 $n$ 为数组的长度。空间复杂度为 $O(32)=O(1)$，只需要一个长度为32的数组来维护每个位置上1的个数。