梯度下降法与正态方程的区别

对于线性回归问题，我们可以使用梯度下降法或者正态方程来求解参数。下面将介绍梯度下降法与正态方程的区别。

梯度下降法

梯度下降法(Gradient Descent)是一种常用的求解参数的方法。梯度下降法的基本思想是通过不断调整参数，使得损失函数的值不断减小，在一定的迭代次数或达到某种收敛条件后停止迭代。梯度下降法的优点是可以处理大规模的数据集，缺点是需要选择合适的学习率和迭代次数，并且对于非凸函数可能会陷入局部最优解。

下面是梯度下降法的核心代码：

def gradient_descent(X, y, theta, alpha, num_iters):
    m = len(y)
    for i in range(num_iters):
        h = np.dot(X, theta)
        loss = h - y
        gradient = np.dot(X.T, loss) / m
        theta = theta - alpha * gradient
    return theta

正态方程

正态方程(Normal Equation)是一种求解参数的解析解方法。使用正态方程可以直接得到最小二乘的解，不需要进行迭代计算。正态方程的优点是不需要选择学习率和迭代次数，并且能够直接得到最优解，缺点是对于大规模的数据集计算量较大，并且可能会有数值稳定性问题。

下面是正态方程的核心代码：

def normal_equation(X, y):
    theta = np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), y)
    return theta

区别

梯度下降法和正态方程的区别如下：

• 迭代次数：梯度下降法需要设置合适的迭代次数，而正态方程不需要进行迭代计算。
• 计算量：对于N个样本和M个特征的线性回归问题，梯度下降法的计算量是O(NM)（每次迭代需要计算损失函数和梯度），而正态方程的计算量是O(M^3+N*M^2)（需要计算矩阵的逆）。
• 稳定性：对于某些情况（例如特征之间高度相关或者特征个数非常多），矩阵可能不可逆或者求逆的结果不稳定，正态方程可能存在数值稳定性问题。而梯度下降法对于此类问题较为鲁棒。
• 模型选择：正态方程适用于数据量较小的线性回归问题，而梯度下降法适用于大规模的数据集。

综上所述，对于数据量较小的线性回归问题，正态方程通常比梯度下降法更为方便和高效；而对于大规模的数据集，梯度下降法则更加实用。