构造一个数组使得所有元素的立方和是一个完美的平方

问题分析

要使所有元素的立方和是一个完美的平方，就需要找到一个完美平方数。而一个完美平方数可以表示为一个整数的平方，即 n^2 （n为整数）。

因此，我们需要构造一个数组，使得元素的立方和可以表示为一个完美平方数。

解决方案

将目标完美平方数设为 K，我们需要找到一组数，使得这组数的立方和可以表示为 K。

根据费马大定理，当 n > 2 时， a^n + b^n = c^n 没有正整数解。因此，我们只需要考虑 n = 1 和 n = 2 的情况。

当 n = 1 时

由于我们需要找到一组数的立方和可以表示为 K，因此我们可以尝试枚举每一个可能的数 i，然后计算除去 i 的其它所有数的立方和是否等于 K - i^3。

如果存在这样的一组数，那么我们就能通过将 i 和这些数组合成一个数组，使得这个数组中所有元素的立方和为 K。

int k = ...; // 目标的完美平方数
for (int i = 1; i * i * i <= k; i++) { // 枚举 i
    int cubeSum = 0;
    for (int j = 1; j * j * j <= k; j++) { // 计算其余数的立方和
        if (i != j) {
            cubeSum += j * j * j;
        }
    }
    if (cubeSum == k - i * i * i) { // 如果找到了一组解
        int[] arr = new int[cubeSum.length + 1]; // 构造数组
        int idx = 0;
        for (int j = 1; j * j * j <= k; j++) {
            if (i != j) {
                arr[idx++] = j;
            }
        }
        arr[idx] = i;
        return arr;
    }
}

当 n = 2 时

当 n = 2 时，a^2 + b^2 = c^2 有无限多个有序整数解，这些解都可以表示为 a = 2mn，b = m^2 - n^2，c = m^2 + n^2 （其中 m, n 为正整数且 m > n）。

那么我们就可以通过枚举 m, n 来构造一个满足要求的数组。

int k = ...; // 目标的完美平方数
for (int m = 2; ; m++) {
    for (int n = 1; n < m; n++) {
        int cubeSum = 0;
        for (int i = 1; i <= m * m + n * n; i++) {
            cubeSum += i * i * i;
        }
        int sqrt = (int)Math.sqrt(cubeSum);
        if (sqrt * sqrt == cubeSum && sqrt == k) { // 如果找到了一组解
            int[] arr = new int[m * m + n * n];
            int idx = 0;
            for (int i = 1; i <= m * m + n * n; i++) {
                if (i != m * m && i != n * n) {
                    arr[idx++] = i;
                }
            }
            arr[idx++] = m * m;
            arr[idx] = n * n;
            return arr;
        }
    }
}

总结

本文介绍了如何构造一个数组，使得所有元素的立方和是一个完美的平方。我们通过枚举和计算的方法，找到了当 n = 1 和 n = 2 时对应的解法。如果有更好的解法和意见，欢迎留言讨论。