构造一个大小为 N 的数组，其所有元素的立方和是一个完全平方数

本题要求构造一个长度为 N 的数组，要求这个数组中所有元素的立方和是一个完全平方数。具体地，如果将数组中所有元素的立方相加，得到的结果必须是一个完全平方数。

解题思路

首先考虑一个完全平方数的性质：它的质因子每个的出现次数都是偶数。例如，$36=2^2 \times 3^2$，它的质因子 $2$ 和 $3$ 的出现次数都是偶数。

这样，我们就可以尝试构造一个数组，使得它的所有元素的立方的质因子的出现次数都是偶数。这样，相加完再开根号就是一个完全平方数了。

具体地，我们可以将 $1^3, 2^3, 3^3, \ldots, N^3$ 放进数组中，然后将每个数的因数分解，统计每个质因子出现的次数。最后，只需要判断每个质因子的出现次数是否都是偶数即可。

这个算法的时间复杂度是 $O(N^2 \log N)$，因为需要对 $1$ 到 $N$ 中的每个数进行因数分解。

代码实现

import math

def is_perfect_square(n):
    """判断一个数是不是完全平方数"""
    return int(math.sqrt(n))**2 == n

def factorize(n):
    """质因数分解"""
    result = {}
    i = 2
    while i <= n:
        if n % i == 0:
            if i not in result:
                result[i] = 0
            result[i] += 1
            n //= i
        else:
            i += 1
    return result

def is_even(num):
    """判断一个数是不是偶数"""
    return num % 2 == 0

def can_make_perfect_square(n):
    """判断能否构造出一个立方和为完全平方数的数组"""
    cube_sum = sum(i**3 for i in range(1, n+1))
    factors = {}
    for i in range(1, n+1):
        for factor, count in factorize(i**3).items():
            if factor not in factors:
                factors[factor] = 0
            factors[factor] += count
    return all(is_even(count) for count in factors.values()) and is_perfect_square(cube_sum)

# 测试代码
assert can_make_perfect_square(1) == True
assert can_make_perfect_square(2) == False
assert can_make_perfect_square(3) == False
assert can_make_perfect_square(4) == True
assert can_make_perfect_square(5) == False
assert can_make_perfect_square(6) == False
assert can_make_perfect_square(7) == False
assert can_make_perfect_square(8) == False
assert can_make_perfect_square(9) == True
assert can_make_perfect_square(10) == False