最多执行 K 次给定操作后，1 到 N 序列中的最大反转

问题描述

给定一个长度为 N 的整数序列，每次操作可以将其中一个数取反，最多执行 K 次操作，问在此限制下，最大的反转后的和是多少。

解题思路

对于这道题目，我们可以将其转化为贪心算法来解决。首先，我们要明确一个事实，即任何数取反两次就回到了原来的状态。那么在一个长度为 N 的序列中，如何选择一个数进行反转会让序列的和最大呢？

我们可以将序列中的所有数按照绝对值从大到小排序，然后对前 K 个数进行取反，其余保持不变。这样做的时候，我们注意到，我们可以认为负数也是需要被取反的，因为负数的反转就是将其变为正数，所以将其绝对值越大的负数取反，反而会让序列的和变得更大。

伪代码实现

input: N, K, nums[]  # N: 数组长度，K: 操作次数，nums: 数组
sort(nums, nums + N, abs_comparator)  # 按绝对值从大到小排序
for i in range(min(K, N)):  # 取前 K 个数进行取反
    if nums[i] > 0:  # 如果是正数，取反变为负数
        nums[i] = -nums[i]
    else:  # 如果是负数（包括零），取反变为正数
        nums[i] = abs(nums[i])
print(sum(nums))

时间复杂度分析

这段伪代码中的排序操作的时间复杂度为 O(NlogN)，for 循环的时间复杂度为 O(min(K, N))，而在 for 循环中进行的计算操作时间复杂度为 O(1)，所以总时间复杂度为 O(NlogN)。

算法正确性证明

我们需要证明的是选择前 K 个数进行取反操作可以使得序列的和最大。这个证明可以通过数学归纳法来进行。

假设序列中前 i 个数按照绝对值从大到小排序后，选择前 k 个数进行取反操作可以使得序列的和最大。那么我们要证明的是，将这个序列再添加一个数之后，前 k+1 个数按照绝对值从大到小排序，并选择前 k+1 个数进行取反操作，依然可以使得序列的和最大。

对于这个证明，我们需要考虑两种情况：

• 如果这个新增的数的绝对值已经比前 k+1 个数的绝对值都要小了，那么加上这个数就不会对结果造成任何影响，原来的结论仍然成立。
• 如果这个新增的数的绝对值比前 k+1 个数的绝对值中最小的那个还要大，那么我们可以将其取反之后加入到前 k 个数中，然后按照绝对值排序，取前 k 个数进行取反，由于排序后原来最小的那个数未被取反，所以现在绝对值最小的数一定是新增的那个数的取反，这样一来，序列的和就一定会比不取反的情况要更大。

通过以上的证明，我们就可以得到这个贪心算法的正确性了。

总结

对于这道题目，我们选择了贪心算法来解决，通过数学归纳法证明了贪心策略的正确性。在实际的实现中，我们使用 sort 函数来对序列进行排序，时间复杂度为 O(NlogN)。算法的总时间复杂度也是 O(NlogN)。