执行给定操作后的最大可能数组总和

概述

在编程中，有时我们需要对数组进行一系列操作，并希望能够获得执行这些操作后得到的最大可能数组总和。本文将介绍如何解决这个问题以及可能的实现方法。

问题描述

给定一个整数数组，数组中每个元素可进行以下两种操作之一：

1. 把元素加1
2. 把元素乘2

可以对数组元素进行任意次操作。目标是通过这些操作获得的数组总和尽可能大。

解决方法

可以使用动态规划方法来解决这个问题。动态规划是一种通过将原问题分解为相对简单的子问题来求解复杂问题的方法。

我们可以定义一个动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示对数组元素进行操作后得到的最大可能数组总和。初始时，dp 数组所有元素设置为0。

对于数组中的每个元素 nums[i]，我们可以选择将其加1或乘2。对于 nums[i]，可以由之前的状态 nums[i-1] 或 nums[i/2] 转移得到。

通过以下递推关系式计算 dp 数组的值：

dp[i] = max(dp[i], dp[i-1] + nums[i])     # 加1操作
dp[i] = max(dp[i], dp[i/2] + nums[i])     # 乘2操作

最后，dp 数组中的最大值即为执行给定操作后的最大可能数组总和。

代码示例

def maxArraySum(nums):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]

    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(dp[i], dp[i-1] + nums[i])
        if nums[i] % 2 == 0:
            dp[i] = max(dp[i], dp[i//2] + nums[i])

    return max(dp)

# 示例用法
nums = [1, 2, 3, 4, 5]
max_sum = maxArraySum(nums)
print(f"The maximum possible array sum after performing given operations is: {max_sum}")

以上代码用Python语言实现了求解最大可能数组总和的动态规划算法。输入的数组为 [1, 2, 3, 4, 5]，输出结果为 15。

复杂度分析

• 时间复杂度：该算法使用动态规划方法，遍历一次数组，时间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组的长度。
• 空间复杂度：该算法使用了额外的dp数组，空间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组的长度。

通过这种动态规划的方法，我们能够高效地求解出执行给定操作后的最大可能数组总和。