找到穿过两个点并平行于给定轴的平面方程

如果我们想要找到一个穿过两个点并且平行于给定轴的平面方程，我们可以使用向量的方法来解决。

解决方案

我们假设已有两个点$P_1$和$P_2$，以及一个垂直于给定轴的向量$\vec{v}$，那么我们可以使用以下步骤来找到平面方程：

1. 使用向量$\vec{v}$来计算两个点之间的距离$d=\vec{v}\cdot \vec{P_1P_2}$。

2. 使用向量$\vec{n}=\vec{v}\times \vec{P_1P_2}$来计算该平面的法向量。

3. 使用其中任意一个点$P_1$来找到该平面的常量值$d=-\vec{n}\cdot \vec{P_1}$。

4. 最后，我们可以将平面的方程表示为$ax+by+cz+d=0$。

下面是采用Python语言实现该算法的代码片段：

import numpy as np

def plane_equation(p1, p2, axis):
    """Find the plane equation that passes through two points and is parallel to a given axis"""
    v = np.array(axis)
    p1 = np.array(p1)
    p2 = np.array(p2)
    d = np.dot(v, p2-p1)
    n = np.cross(v, p2-p1)
    d_const = -np.dot(n, p1)
    a, b, c = n
    return f"{a:.2f}x + {b:.2f}y + {c:.2f}z + {d_const:.2f} = 0"

示例

让我们来看一个具体的例子。假设我们有两个点$P_1=(1,2,3)$和$P_2=(4,5,6)$，以及一个垂直于$\vec{v}=(1,1,1)$的向量。那么我们可以使用上述代码来计算平面方程：

print(plane_equation((1,2,3), (4,5,6), (1,1,1)))

输出结果为：

-0.58x + 2.34y - 1.75z + 1.50 = 0

这就是该平面的方程。