点，线和平面

在三维几何形状的点被定义为3D空间中的位置是唯一地由一个有序三元组(X，Y，Z)其中x，y，＆z是该点的由X轴，Y的距离定义轴和Z轴。

指向3D空间

三维几何中的直线定义为在3D中沿两个方向无限延伸的一组点，并由L表示：(x – x1)/ l =(y – y1)/ m =(z – z1)/ n;这里(x，y，z)是在线上任何可变点的位置坐标，(x ₁ ，y ₁ ，z ₁ )是在线上点P的位置坐标，而l，m，＆ n是方向比(DR)。在3D中，两条非平行平面的交点也形成一条线。

3D空间中的线

可以将三维(3D)几何形状的平面视为一个表面，以使连接该表面上任意两个点的线段完全位于其上。 3D中平面的一般形式是x，y，z中的一阶方程，即( a x + b y + c z + d = 0 ) ，其中(x，y，z)表示平面上可变点的坐标。

3D空间中的平面

正规形式的平面方程的向量形式

正常形式的平面方程的矢量形式由下式给出：

π: ${\vec {r}}$ . n̂  = d

Where:

π represents a plane in 3D space.

${\vec {r}}$ vector is the position vector of a general point lying on the plane, n̂ is the unit vector normal to the plane and d is the distance of a plane from the origin.

Note: The vector equation of the plane in the form (${\vec {r}}$ . ${\vec {n}}$ = d) is said to be in the normal form only when ${\vec {n}}$ is a unit vector normal to the plane and d is the distance of the plane from the origin. If ${\vec {n}}$ is not a unit vector then we have to divide the above equation by |${\vec {n}}$| on both the sides in order to convert it into the normal form. ${\vec {r}} . ({\vec {n}}/|{\vec {n}}|) = d/|{\vec {n}}|$ or ${\vec {r}}$.n̂ = $d/{\vec {|n|}}$

例子

示例1：3D空间中距原点且垂直于矢量(2 i + j + 2 k)8个单位的平面的矢量方程式由给出：

解决方案：

d = 8 and  ${\vec {n}}$ = (2 i+ j + 2 k)

n̂ = (2 i+ j + 2 k) / √(2² + 1² + 2²) 

n̂ = (2 i+ j + 2 k) / √9

n̂ = (2/3) i+ (1/3) j + (2/3) k

Hence the required vector equation of the plane in normal form is

 ${\vec {r}}$ . ((2/3) i+ (1/3) j + (2/3) k) = 8 which can be simplified as ${\vec {r}}$. (2 i+ 1 j + 2 k) = 24

示例2： 3D空间中距原点且垂直于矢量(4 i + 3 k)5个单位的平面的矢量方程式由给出：

解决方案：

d = 5 and  ${\vec {n}}$ = (4 i+ 3 k)

n̂ = (4 i + 3 k) / √(4² + 0² + 3²)

n̂ = (4 i+ 3 k) / √(25)

n̂ = (4/5) i+ (3/5) k

Hence the required vector equation of the plane in normal form is ${\vec {r}}$ . ((4/5) i+ (3/5) k) = 5 which can be simplified as ${\vec {r}}$ . (4 i+ 3 k) = 25

示例3：3D空间中距原点且垂直于矢量(i + 3 j + 4 k)19个单位的平面的矢量方程式由给出：

解决方案：

d = 19 and  ${\vec {n}}$ = (i+ 3 j + 4 k)

n̂ = (i+ 3 j + 4 k) / √(1² + 3² + 4²)

n̂ = (i+ 3 j + 4 k) / √(26)

Hence the required vector equation of the plane in normal form is ${\vec {r}}$ . (i+ 3 j + 4 k)/ (√(26)) = 19

正规形式的平面方程的笛卡尔形式

正常形式的平面方程的笛卡尔形式由下式给出：

π: lx + my + nz = p

Where:

π again represents a plane in 3D space

l, m, n are the DC’s i.e. direction cosines of the the normal to the plane always satisfies this condition (l² + m² + n² = 1)

and p is the distance of the plane from the origin

Note: Any cartesian equation of the plane in the form (ax + by + cz + d = 0) is said to be in the normal form only when a, b, c are the direction cosines of the normal to the plane and |d| is the distance of the plane from the origin.

如果a，b，c不是该平面的法线方向，则我们必须遵循以下步骤：

• 步骤1：在LHS上保留x，y和z的项，在RHS上取常数d。
• 步骤2：如果RHS上的常数项为负，则通过在方程式的两边乘以(-1)使其为正。
• 步骤3：将方程式两边的项除以√(a ² + b ² + c ² ) 。

应用这些步骤后，LHS上的x，y和z系数将成为平面法线的方向余弦，而RHS上的常数项将成为平面距原点的距离。

例子

示例1：3D空间中的平面由(2x + y + 2z – 24 = 0)表示，那么该平面的法线形式的笛卡尔方程式由下式给出：

解决方案：

Taking the constant term on the RHS

2x + y + 2z = 24

Dividing both sides of the above  equation by √(2² + 1² + 2²) = √9 = 3

(2/3) x + (1/3) y + (2/3) z = 8

Here l = 2 / 3 , m = 1 / 3 , n = 2 / 3 are the direction cosines & p = 8 is the distance from the origin.

示例2： (x + y – z – 1 = 0)是3D空间中的平面，那么该平面的法线形式的笛卡尔方程式由下式给出：

解决方案：

Taking the constant term on the RHS

x + y – z = 1

Dividing both sides of the above  equation by √(1² + 1² + 1²) = √3

(1/(√3)) x + (1/(√3)) y – (1/(√3)) z = 1 /√3

Here l = 1 / (√3) , m = 1 / (√3) , n = (-1) / (√3) are the direction cosines & p = 1 / √3 is the distance from the origin.

例3：3D空间中的平面的给定为(y + 3 z – 10 = 0)，那么该平面的法线形式的笛卡尔方程式由下式给出：

解决方案：

Taking the constant term on the RHS

y + 3 z = 10

Dividing both sides of the above  equation by √(0² + 1² + 3²) = √(10)

(0/(√10)) x + (1/(√10)) y + (3/(√10)) z = 10 / √(10)

0 x + (1 / √(10)) y + (3 / (√10)) z = √(10)

Here l = 0 , m = 1 / √(10), n = 3 / √(10) are the direction cosines & p = √(10) is the distance from the origin.

笛卡尔形式的点到平面的距离

笛卡尔形式中的点P (x _o ，y _o ，z _o )与平面π： (a x + b y + c z + d = 0)的距离定义为垂直线的长度( L )从该点绘制到平面。

L = |a x_o + b y_o + c z_o + d| / √(a² + b² + c²)

例子

示例1：点(2，1，0)与平面(2 x + y + 2 z + 5 = 0)的距离由下式给出：

解决方案：

x_o = 2, y_o = 1, z_o = 0

a = 2, b = 1, c = 2, d = 5

L = |(2 × 2) + (1 × 1) + (0 × 2) + 5| / √(2², 1², 2²)

L = 10 / √9

L = 10 / 3

例2：点(0，1，0)与平面(3 y + 4 z = 7)的距离为?

解决方案：

x_o = 0, y_o = 1, z_o = 0

a = 0, b = 3, c = 4, d = -7

L = |0 + (3 × 1) + (4 × 0) – 7| / √(0², 3², 4²)

L = |3 – 7| / √(25)

L = 4 / 5

示例3：点(1、1、1)与平面(4 x + 3 z + 9 = 0)的距离由下式给出：

解决方案：

x_o = 1, y_o = 1, z_o = 1

a = 4, b = 0, c = 3, d = 9

L = |(4 × 1) + (0 × 1) + (3 × 1) + 9| / √(4², 0², 3²)

L = |7 + 9| / √(25)

L = 16 / 5

矢量形式的点到平面的距离

具有位置向量的点P的距离${\vec {a}}$从平面π： ${\vec {r}} . {\vec {n}} = d$向量形式的“垂直”定义为从该点到平面绘制的垂直线的长度(L)。

L = $|{\vec {a}} . {\vec {n}}-d| / |{\vec {n}}|$

例子

示例1：位置向量为(2 i + j + 0 k)的点到平面的距离${\vec {r}}$ 。 (2 i + j + 2 k)= 5由?

解决方案：

${\vec {a}}$ = 2 i + j + 0 k

${\vec {n}}$ = 2 i + j + 2 k

|${\vec {n}}$| = √(2², 1², 2²) = √9 = 3 

d = 5 (given)

${\vec {a}} . {\vec {n}}$ = (2 × 2) + (1 × 1) + (0 × 2) = 5

L = |5 – 5| / 3

L = 0

示例2：点(5、3、0)与平面的距离${\vec {r}}$ 。 (4i + 3j)= 8是多少?

解决方案：

${\vec {a}}$ = 5 i +3 j + 0 k

${\vec {n}}$ = 4 i +3 j + 0 k

|${\vec {n}}$| = √(4², 3², 0²) = √(25) = 5

d = 8 (given)

${\vec {a}}$ . ${\vec {n}}$ = (5 × 4) + (3 × 3) + (0 × 0) = 29

L = |29 – 8| / 5

L = 21 / 5

示例3：点(3、3、1)到平面的距离${\vec {r}}$ 。 (i + 3 j + 2 k)= 19由?

解决方案：

${\vec {a}}$ = 3 i +3 j + k

${\vec {n}}$ = i +3 j + 2 k

|${\vec {n}}$| = √(1², 3², 2²) = √(14)

d = 19 (given)

${\vec {a}} . {\vec {n}}$= (3 × 1) + (3 × 3) + (1 × 2) = 14

L = |14 – 19| / √(14)

L = 5 / √(14)