计算从源到目的地的所有可能的步行，恰好有 k 条边

本任务的目标是给定一张无向图，其中每个节点都有一个非负权值，然后计算从源节点到目的地节点的所有可能的步行方案，这些方案中必须恰好经过 k 条边。本文将介绍如何使用动态规划算法来解决此问题。

动态规划算法

动态规划算法是一种常见的优化算法，通常用来解决最优化问题。它的基本思路是将一个大问题分解为若干个小问题，然后通过求解这些小问题的解并逐步将它们组合起来，从而得到大问题的解。在本任务中，我们可以将每一步行动看作一个小问题，并通过递归地求解这些小问题来得到最终的解。

具体而言，我们可以使用一个三维的 DP 数组 dp[i][j][k] 来表示从节点 i 到节点 j 经过 k 条边的所有步行方式中的最大值。其中，k 是目标值，也就是我们要求解的步行边数。对于数组中的每个元素，它的值等于上一个步行的最大值加上当前节点的权值。

状态转移方程如下：

dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i][p][k-1] + dp[p][j][1])

其中 p 为 i 和 j 之间的任何一个节点。

按照这个递推式，我们可以计算出从源节点到目标节点经过 k 条边的所有步行方式中的最大值。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现的代码，我们将其封装在一个名为 walk_graph 的函数中，该函数的输入参数包括图的节点数组，以及源节点和目标节点的索引，以及目标步行边数 k。

def walk_graph(graph, src, dst, k):
    n = len(graph)
    dp = [[[float('-inf')] * (k + 1) for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i][0] = graph[i]
    for l in range(1, k + 1):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                for p in range(n):
                    dp[i][j][l] = max(dp[i][j][l], dp[i][p][l - 1] + dp[p][j][1])
    return dp[src][dst][k]

总结

本文介绍了如何使用动态规划算法来计算从源节点到目标节点的所有可能的步行方案，这些方案中必须恰好经过 k 条边。我们使用一个三维的 DP 数组来表示所有可能的情况，并使用状态转移方程递推地计算每一个子问题的最优解。最终，我们得到了一个复杂度为 O(n^3 * k) 的算法，它能够成功地解决本任务。