满足给定方程的斐波那契对的计数

本篇文章将要介绍如何求解斐波那契数列中满足给定方程的对数。在开始介绍算法之前，我们先来复习一下斐波那契数列。

斐波那契数列

斐波那契数列是一个非常经典的数列，它的定义如下：

$$ Fib(0)=0,Fib(1)=1 $$ $$ Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2),n\geq2 $$

斐波那契数列的前几项是：

$$ 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots $$

由于斐波那契数列的定义是递归的，因此直接求解某一项的值比较困难。但是斐波那契数列有一个非常重要的性质，即相邻的两个数的比值越来越接近黄金比例 $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，也就是说：

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{Fib(n+1)}{Fib(n)}=\phi$$

在后面的算法中，我们将会用到这个性质。

给定方程的斐波那契对

给定一个正整数 $x$，如果存在两个斐波那契数 $Fib(m)$ 和 $Fib(n)$，使得方程 $x=Fib(m)+Fib(n)$ 成立，那么我们称这两个斐波那契数为满足方程 $x=Fib(m)+Fib(n)$ 的一对斐波那契数。例如，$x=8$ 时，斐波那契数列中有两个数 $Fib(4)=3$ 和 $Fib(6)=8$，使得 $8=Fib(4)+Fib(6)$，因此它们就是一对满足方程 $x=8=Fib(m)+Fib(n)$ 的斐波那契数。

我们的目标是求出给定正整数 $x$，有多少对斐波那契数满足方程 $x=Fib(m)+Fib(n)$。接下来，我们将介绍两个不同的算法来解决这个问题。

方法一：二分查找

思路：因为斐波那契数列是单调递增的，并且斐波那契数列中相邻的两个数的比值越来越接近黄金比例 $\phi$，因此我们可以将 $Fib(m)$ 和 $Fib(n)$ 分别限制在某一个范围内（即 $3\leq Fib(m)\leq x$，$3\leq Fib(n)\leq x$），然后分别使用二分查找来寻找满足 $x=Fib(m)+Fib(n)$ 的斐波那契数 $Fib(m)$ 和 $Fib(n)$。具体实现如下：

def binary_search_fib(x, l, r):
    """
    在斐波那契数列中寻找第一个大于等于 x 的数的下标
    """
    while l <= r:
        mid = l + (r - l) // 2
        if fib[mid] >= x:
            r = mid - 1
        else:
            l = mid + 1
    return l

def count_pairs(x):
    """
    计算满足方程 x=Fib(m)+Fib(n) 的斐波那契对的数量
    """
    ans = 0
    m = binary_search_fib(x, 3, len(fib) - 1)  # 限制 Fib(m) 的范围
    while fib[m] * 2 >= x:  # 限制 Fib(n) 的范围
        n = binary_search_fib(x - fib[m], m, len(fib) - 1)
        if fib[n] != x - fib[m]:
            n -= 1
        ans += n - m  # 统计满足条件的斐波那契对的数量
        m += 1
    return ans

其中，fib 是一个预处理出的斐波那契数列。

时间复杂度：$O(\log x\cdot\log\log x)$

方法二：二次剩余

思路：对于给定的正整数 $x$，我们可以将方程 $x=Fib(m)+Fib(n)$ 变形为 $Fib(n)=\frac{x}{\phi^{m-n}}-Fib(m)\cdot\frac{\phi^{n-m}}{\sqrt{5}}$。因此，对于给定的 $x$ 和 $Fib(m)$，我们可以使用二次剩余求解出 $n$ 的值。具体实现如下：

def count_pairs(x):
    """
    计算满足方程 x=Fib(m)+Fib(n) 的斐波那契对的数量
    """
    ans = 0
    for m in range(3, len(fib)):
        if fib[m] * 2 > x:
            break
        y = x - fib[m]
        t = y * y + 5 * fib[m] * fib[m]
        if is_square(t):
            n1 = (y * find_inverse(2 * fib[m], P) % P) % P
            n2 = ((P - y) * find_inverse(2 * fib[m], P) % P) % P
            ans += binary_search_fib(n2 + 1) - binary_search_fib(n1)
    return ans

其中，is_square 函数用于判断一个数是否是平方数，find_inverse 函数用于求模意义下的逆元，binary_search_fib 函数则用于辅助求解。在实际实现中，我们需要使用大整数运算来避免溢出。另外，我们还需要预处理出一个模数 $P$，这里取 $P=10^9+7$。

时间复杂度：$O(\log x)$

总结

本篇文章介绍了两种不同的算法来解决斐波那契数列中满足给定方程的对数问题，分别是二分查找和二次剩余算法。这两种算法的时间复杂度分别为 $O(\log x\cdot\log\log x)$ 和 $O(\log x)$。在实际应用中，可以根据数据范围和具体情况来选择合适的算法。