满足给定方程的三元组计数

在计算机科学中，需要解决各种数学问题。其中之一是找到满足给定方程的三元组数量。本文将介绍一些计算满足给定方程的三元组数量的算法。

问题描述

给定一个整数 $n$，计算满足以下方程的三元组 $(x, y, z)$ 的数量：

$$ x^2 + y^2 + z^2 = n $$

其中 $x, y, z$ 均为整数。

算法一：暴力搜索

最容易想到的算法是暴力枚举所有可能的 $(x, y, z)$，并检查它们是否满足方程。由于 $|x|, |y|, |z| \le \sqrt{n}$，因此我们可以使用三个循环来枚举 $x, y, z$：

count = 0
for x in range(int(n**0.5)+1):
    for y in range(int(n**0.5)+1):
        for z in range(int(n**0.5)+1):
            if x**2 + y**2 + z**2 == n:
                count += 1
print(count)

如果 $n$ 的值比较大，计算时间将非常长。

算法二：哈希表

观察到 $|x|, |y|, |z| \le \sqrt{n}$，我们可以使用哈希表来保存已经计算出来的 $x^2 + y^2$ 的值，然后在枚举 $z$ 时查询是否有 $n - z^2$ 的值在哈希表中：

count = 0
hash_map = {}
for x in range(int(n**0.5)+1):
    for y in range(int(n**0.5)+1):
        sum_xy = x**2 + y**2
        if sum_xy not in hash_map:
            hash_map[sum_xy] = 1
        else:
            hash_map[sum_xy] += 1
for z in range(int(n**0.5)+1):
    target = n - z**2
    if target in hash_map:
        count += hash_map[target]
print(count)

时间复杂度为 $O(n^{3/2})$。

算法三：费马平方和定理

费马平方和定理指出：一个正整数 $n$ 能够表示成两个整数平方和的形式当且仅当 $n$ 的所有形如 $4k+3$ 的质因数的指数均为偶数。基于这个定理，我们可以先将 $n$ 分解质因数，然后统计每个质因子指数的奇偶性，计算满足条件的三元组数量：

import math

def prime_factorization(n):
    factors = {}
    while n % 2 == 0:
        if 2 not in factors:
            factors[2] = 1
        else:
            factors[2] += 1
        n //= 2
    for i in range(3, int(math.sqrt(n))+1, 2):
        while n % i == 0:
            if i not in factors:
                factors[i] = 1
            else:
                factors[i] += 1
            n //= i
    if n > 2:
        if n not in factors:
            factors[n] = 1
        else:
            factors[n] += 1
    return factors

def is_even(x):
    return x % 2 == 0

factors = prime_factorization(n)
count = 1
for prime, exponent in factors.items():
    if prime % 4 == 3 and is_even(exponent):
        count = 0
        break
    if prime % 4 == 1:
        count <<= exponent // 2
result = count << 1 if count > 0 else 0
print(result)

时间复杂度为 $O(\sqrt{n} \log n)$。

算法四：三平方定理

三平方定理指出：一个正整数 $n$ 能够表示成三个整数平方和的形式当且仅当 $n$ 的形如 $4k+3$ 的质因数的指数均为偶数。基于这个定理，我们可以从 $n$ 开始，枚举 $k$ 的值，计算 $n$ 是否能够表示成三个数平方和的形式：

result = 0
for k in range(int(n**0.5)+1):
    remainder = n - k**2
    if remainder < 0:
        break
    if remainder == 0:
        result += 1
        break
    a = 1
    b = int(remainder**0.5)
    while a <= b:
        sum_ab = a**2 + b**2
        if sum_ab == remainder:
            result += 1
            break
        elif sum_ab < remainder:
            a += 1
        else:
            b -= 1
print(result)

时间复杂度为 $O(n^{1/2} \log n)$。

总结

本文介绍了几个计算满足给定方程的三元组数量的算法。其中暴力搜索算法的时间复杂度为 $O(n^{3/2})$，使用哈希表算法的时间复杂度为 $O(n^{3/2})$，使用费马平方和定理算法的时间复杂度为 $O(\sqrt{n} \log n)$，使用三平方定理算法的时间复杂度为 $O(n^{1/2} \log n)$。在实际应用中，应根据具体情况选择适合的算法。