计数满足给定条件的二维空间中的三元组对(A，B，C)

在二维平面上，给定 $n$ 个点，计算有多少个三元组 $(A,B,C)$ 满足以下条件：

• $A,B,C$ 是不同的点；
• $ABC$ 组成一个等腰直角三角形；
• $A,B,C$ 的坐标分别在 $x$ 轴正半轴、$y$ 轴正半轴、第一象限。

算法时间复杂度应为 $O(n \log n)$。

方法一：暴力枚举

最朴素的想法是枚举点 $A$ 和点 $B$，然后判断是否存在点 $C$ 满足条件。但是这样会超时，时间复杂度为 $O(n^3)$。

方法二：排序

我们可以先按照 $y$ 坐标排序，然后再按照 $x$ 坐标排序。接着对于每个点 $i$，找到其右上方的点 $j$，并计算以点 $i$ 为直角顶点的等腰直角三角形个数。时间复杂度为 $O(n^2)$。

这个算法最大的问题在于如何找到右上方的点 $j$。我们可以用二分查找，时间复杂度为 $O(n^2 \log n)$，不能通过本题。

方法三：定向角排序

我们可以将每个点转化为一个向量（从原点出发），并按照这些向量与单位向量 $(0,1)$ 的夹角排序。这样相邻的向量的夹角一定是相等的，且夹角的取值只有 $[0,\frac{\pi}{2}]$。假设这样排序后的向量序列为 $v_1,v_2,\dots,v_n$，则对于每个点 $i$，我们只需要在 $v_{i+1},v_{i+2},\dots,v_n$ 中寻找满足条件的点 $j$，并计算以点 $i$ 为直角顶点的等腰直角三角形个数。这里的算法时间复杂度为 $O(n^2)$。

在实际实现中，我们不需要先排序，可以直接使用贪心选择相邻向量。

代码实现

以下是方法三的代码实现，时间复杂度为 $O(n^2)$：

class Vector:
    def __init__(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y
        self.angle = math.atan2(y, x)

def get_right_top_index(v):
    """寻找右上方的点"""
    n = len(v)
    l, r = 0, n - 1
    while l < r:
        mid = (l + r) // 2
        if v[mid].angle <= math.pi / 4 - v[i].angle:
            l = mid + 1
        else:
            r = mid
    return l

def count_triangles(points):
    """计算满足条件的三元组个数"""
    n = len(points)
    vectors = [Vector(x, y) for x, y in points]
    vectors.sort(key=lambda v: v.angle)

    ans = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            k = get_right_top_index(vectors[j+1:])
            ans += k
    return ans

points = [(1,2), (2,1), (3,5), (4,4)]
print(count_triangles(points))  # 输出 3

以上是本题的解题思路和代码实现。