满足给定方程的 Array 的无序对 (x, y) 的计数

简介

该问题要求计算一个无序数组中满足给定方程的不同元素对的数量。具体而言，在给定的数组中，对于方程 $f(x, y) = x^2 + y^2$，需要计算所有满足条件的无序元素对 $(x, y), x \neq y$ 的数量。

解法

我们可以使用哈希表来解决该问题。对于数组中的每个元素 $a_i$，计算其平方和 $s_i = a_i^2$，然后在哈希表中查找是否存在 $s_i - f(a_i, a_j)$ 的键值对，其中 $a_j \neq a_i$。

时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。

以下是该问题的Python解法：

from collections import defaultdict

def count_pairs(arr):
    squares = [x**2 for x in arr]
    count = 0
    hash_table = defaultdict(int)
    
    for i in range(len(squares)):
        for j in range(i+1, len(squares)):
            diff = squares[i] - squares[j]
            count += hash_table[diff]
            hash_table[squares[j] - diff] += 1
            
    return count

测试

我们可以使用以下测试用例来测试算法的正确性：

assert count_pairs([2, 3, 4, 5]) == 5
assert count_pairs([-2, 3, 0, 2, 4]) == 7
assert count_pairs([0, 1, 2, 3]) == 1

总结

哈希表是一种非常有用的数据结构，在解决一些查找和统计类问题时，可以大大减少时间复杂度。此问题即为一例。