最大的可分对子集

在计算机科学中，最大的可分对子集问题是指在给定的正整数集合中找到一个最大的子集，其中任意两个数之和都是不同的素数。

例如，对于集合 {3, 7, 10, 29, 43, 71}，其最大的可分对子集是 {3, 7, 29, 43}，因为这个子集中的任意两个数之和都是不同的素数。

该问题可以用动态规划的方法来解决。具体地，我们可以定义一个布尔型的二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示集合中前 i 个数中是否存在一个子集，使得其大小为 j，且任意两个数之和都是不同的素数。

初始化时，我们有 dp[0][0]=True，dp[0][j]=False，dp[i][0]=True（因为任何集合的空子集都满足条件）。接下来，我们使用一个嵌套的循环，枚举集合中前 i 个数以及目标子集大小 j，然后根据剩余元素之和是否为素数更新 dp[i][j] 的值。

最后，我们从后往前遍历 dp 数组，找到最大的可分对子集，即满足 dp[i][j]=True 且 j 的值最大的子集。

以下是 Python 代码实现：

def is_prime(num):
    if num < 2:
        return False
    for i in range(2, int(num ** 0.5) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

def max_divisible_subset(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[False] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = True
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][0] = True
        for j in range(1, i + 1):
            sum_ = nums[i - 1]
            for k in range(i - 1, j - 2, -1):
                sum_ += nums[k]
                if is_prime(sum_):
                    dp[i][j] |= dp[k][j - 1]
    for j in reversed(range(1, n + 1)):
        for i in range(n, j - 1, -1):
            if dp[i][j]:
                return nums[i - j:i]
    return []

时间复杂度为 O(n^3)，空间复杂度为 O(n^2)。