数组的最大乘积子集

介绍

在一个给定的数组中，找到一个子集， 使得该子集中的元素乘积最大。

这个问题可以使用动态规划来解决。

动态规划

使用一个状态数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的子数组中最大的乘积。

动态转移方程:

dp[i] = max(nums[i], nums[i]*dp[i-1])

其中， nums[i] 是第 i 个元素的值， dp[i-1] 是以第 i-1 个元素为结尾的子数组中最大的乘积。

然后，我们可以遍历一遍 dp 数组，找到其中的最大值即可。

代码

def maxProduct(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: int
    """
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]

    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(nums[i], nums[i]*dp[i-1])

    return max(dp)

时间复杂度

时间复杂度为 $O(N)$，其中 $N$ 是数组的长度。

空间复杂度

空间复杂度为 $O(N)$，其中 $N$ 是数组的长度。

算法优化

我们可以使用两个变量分别记录以 i-1 为结尾的子数组中最大的乘积和最小的乘积，然后转移到 i 时就可以同时更新最大值和最小值。

这个算法的时间复杂度和空间复杂度都是 $O(1)$。

代码

def maxProduct(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: int
    """
    n = len(nums)
    max_prod = nums[0]
    min_prod = nums[0]
    ans = nums[0]

    for i in range(1, n):
        if nums[i] < 0:
            max_prod, min_prod = min_prod, max_prod

        max_prod = max(nums[i], nums[i]*max_prod)
        min_prod = min(nums[i], nums[i]*min_prod)
        ans = max(ans, max_prod)

    return ans

时间复杂度

时间复杂度为 $O(N)$，其中 $N$ 是数组的长度。

空间复杂度

空间复杂度为 $O(1)$，只用了常数级别的额外空间。

总结

本题是一个非常经典的动态规划问题。学习动态规划可以大大提升程序员的算法能力。

除了动态规划，还可以使用贪心算法来解决本问题。