最大乘积子数组 | 设置 3

简介

最大乘积子数组问题是一道经典的动态规划问题，给定一个整数数组，找到一个连续的子数组，使得该子数组中的元素的乘积最大。本题目要求是在子数组中最多可以有3个负数。

解法

动态规划法

动态规划是解决该问题的一种常用方法。我们可以使用两个动态规划数组来解决本题，分别记录以当前元素结尾的最大乘积和最小乘积。由于乘积可能为负数，因此我们需要同时记录最大和最小乘积。

1. 定义两个数组maxdp和mindp，分别用来记录以当前元素结尾的子数组的最大乘积和最小乘积。
2. 定义一个变量res用来记录全局的最大乘积。
3. 对于数组中的每个元素nums[i]，分别更新maxdp和mindp：
   • 如果nums[i]是正数，乘以前一个元素的最大乘积和最小乘积的结果比较，取较大值更新到maxdp[i]，较小值更新到mindp[i]。
   • 如果nums[i]是负数，乘以前一个元素的最大乘积和最小乘积的结果比较，取较大值更新到mindp[i]，较小值更新到maxdp[i]。
   • 如果nums[i]是0，将maxdp[i]和mindp[i]都设为0。
4. 对于每个maxdp[i]，与res比较取最大值作为新的res。
5. 返回res作为最大乘积子数组的乘积。

代码实现如下：

def maxProduct(nums):
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0

    maxdp = [0] * n
    mindp = [0] * n
    
    maxdp[0] = nums[0]
    mindp[0] = nums[0]
    res = nums[0]

    for i in range(1, n):
        if nums[i] > 0:
            maxdp[i] = max(nums[i], maxdp[i-1]*nums[i])
            mindp[i] = min(nums[i], mindp[i-1]*nums[i])
        elif nums[i] < 0:
            maxdp[i] = max(nums[i], mindp[i-1]*nums[i])
            mindp[i] = min(nums[i], maxdp[i-1]*nums[i])
        else:
            maxdp[i] = 0
            mindp[i] = 0
        
        res = max(res, maxdp[i])
    
    return res

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N)，其中 N 是数组的长度。
• 空间复杂度：O(N)，使用了两个长度为 N 的数组来记录状态。

总结

本题中，我们使用动态规划的方法解决了最大乘积子数组问题，通过两个动态规划数组来记录以当前元素结尾的子数组的最大乘积和最小乘积。这个题目是一个经典的动态规划问题，也常常作为算法面试的考察点。理解并熟练应用动态规划的解题思路，对于提高算法问题的解决能力非常有帮助。