零和的子集数

零和的子集数是指给定一个元素数量为n的集合S，求出S的所有子集中，和为0的子集个数。这个问题可以转化为一个动态规划问题。具体的解法见下文。

动态规划

我们设dp(i, j)为考虑前i个元素，和为j的子集个数。对于第i个元素，它有两种选择：

• 将它添加到和为j的子集中
• 将它不添加到和为j的子集中

根据这两种情况，我们可以列出状态转移方程：

dp(i, j) = dp(i-1, j) + dp(i-1, j-S[i])

其中，S[i]表示集合中第i个元素的值。

初始条件为：

dp(0, 0) = 1
dp(0, j) = 0, (j>0)
dp(i, j) = 0, (j < 0)

最终的答案为 dp(n, 0)，即考虑全部n个元素时和为0的子集个数。

以下是一个python实现（时间复杂度为O(nS)）：

def zero_sum_subsets(S):
    n = len(S)
    dp = [[0]*(2*S[-1]+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(2*S[-1]+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j-S[i-1] >= 0:
                dp[i][j] += dp[i-1][j-S[i-1]]
    return dp[n][S[-1]]

S = [1, -1, 2, -2]
print(zero_sum_subsets(S)) # 输出为4

思路

本题可以通过动态规划求解。具体来说，我们设计状态dp(i, j)表示前i个元素中和为j的子集个数。对于第i个元素，有两种情况：

1. 将它添加到和为j的子集中。那么问题就转化为了前i-1个元素中和为j-S[i]的子集个数，即dp(i-1, j-S[i])。
2. 将它不添加到和为j的子集中。那么问题就转化为了前i-1个元素中和为j的子集个数，即dp(i-1, j)。

综合以上两种情况，可以得到动态转移方程dp(i, j) = dp(i-1, j) + dp(i-1, j-S[i])。

由于涉及到负数下标，我们可以将所有元素都平移一定量，使得最小的元素值为正整数。具体来说，假设第k个元素的值最小，那么我们将所有元素都加上abs(S[k])，这样就可以保证所有元素都是正整数了。

另外，由于所有子集都是由这n个元素中的若干个元素构成的，所以总的子集个数是2^n个。由于要考虑所有子集，所以时间复杂度最优情况下也是O(2^n)的。但是由于采用了动态规划，可以将空间复杂度优化到O(n*S)，其中S是所有元素的和的绝对值。