通过将数组拆分为两个子集，最大和的最小子集

在编程中，有时我们需要将一个数组分成两个子集，使得它们的和的差值最小且两个子集的和分别满足一定的要求。这个问题的一个经典应用是背包问题（Knapsack Problem）。

背包问题

背包问题是计算机科学中的一个问题，它可以用一句话描述为：在一个固定容量的背包中，放置不同价值和重量的物品，使得背包中放置的物品的总价值最大。

我们在分析背包问题时，经常需要用到贪心算法和动态规划算法。这里我们不作具体介绍，只提到这些算法名词，方便读者在学习时深入研究。

问题描述

我们需要编写一个算法，将一个包含 n 个正整数的数组 nums 分成两个子集 num1 和 num2，使得它们的和的差值最小，且 num1 和 num2 的和分别满足：

• sum(num1) + sum(num2) = sum(nums)
• abs(sum(num1) - sum(num2)) 最小

其中，abs 表示取绝对值。

解法

这个问题的解法是动态规划。我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示是否可以从数组的前 i 个元素中选出若干个元素，它们的和刚好等于 j。

状态转移方程为：

dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-nums[i-1]]

状态转移方程的含义是，当前元素可以选或不选。如果不选，则继承上一个状态 dp[i-1][j] 的值；如果选，则需要判断是否存在一个状态 dp[i-1][j-nums[i-1]]，使得选取当前元素后的和等于 j。

最终我们需要找到满足条件的最小的差值，我们可以从 dp[n][j] 中找到最接近 sum(nums)/2 的值。

具体实现见下方代码片段。

代码实现

def splitArray(nums) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [[False] * (sum(nums) // 2 + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = True
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(sum(nums) // 2 + 1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j >= nums[i-1]:
                dp[i][j] |= dp[i-1][j-nums[i-1]]
    
    for j in range(sum(nums) // 2, -1, -1):
        if dp[n][j]:
            return sum(nums) - j * 2

print(splitArray([1, 5, 11, 5]))  # 0
print(splitArray([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]))  # 1
print(splitArray([10, 20, 15, 5, 25]))  # 5

以上就是我们通过将数组拆分为两个子集，最大和的最小子集的解法和代码实现。