二维矩阵中最大和矩形的C程序DP-27

在二维矩阵中找到一个子矩阵，使得该子矩阵中所有元素的和最大，这个问题被称为矩阵最大子矩阵和问题。本文将介绍一种使用动态规划的算法来解决这个问题的C程序。

思路

设矩阵为 $matrix$，矩阵的行数为 $rows$，矩阵的列数为 $cols$，那么最大子矩阵和可以用动态规划来解决：

1. 定义状态：$dp[i][j]$表示以矩阵中的 $(i, j)$ 为右下角的最大子矩阵和。
2. 转移方程：$dp[i][j] = \max{dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1], matrix[i][j]}$。
3. 最终结果：$result = \max\limits_{i,j}dp[i][j]$。

代码实现

下面是使用C语言实现的矩阵最大子矩阵和问题的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int maxSubmatrixSum(int **matrix, int rows, int cols) {
    int **dp = (int**)malloc(rows * sizeof(int*));
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        dp[i] = (int*)malloc(cols * sizeof(int));
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            dp[i][j] = 0;
        }
    }

    int result = matrix[0][0];

    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            if (i == 0 || j == 0) {
                dp[i][j] = matrix[i][j];
            } else {
                dp[i][j] = matrix[i][j] + dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1];
            }

            if (dp[i][j] > result) {
                result = dp[i][j];
            }

            for (int k = 0; k < i; k++) {
                int curSum = dp[i][j] - dp[k][j];
                if (curSum > result) {
                    result = curSum;
                }
            }

            for (int k = 0; k < j; k++) {
                int curSum = dp[i][j] - dp[i][k];
                if (curSum > result) {
                    result = curSum;
                }
            }
        }
    }

    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        free(dp[i]);
    }
    free(dp);

    return result;
}

int main() {
    int matrix[5][5] = {{0, -2, -7, 0},
                        {9, 2, -6, 2},
                        {-4, 1, -4, 1},
                        {-1, 8, 0, -2}};

    int rows = 4;
    int cols = 4;

    int **p = (int**)malloc(rows * sizeof(int*));
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        p[i] = matrix[i];
    }

    int result = maxSubmatrixSum(p, rows, cols);

    printf("The max submatrix sum is: %d\n", result);

    return 0;
}

代码解析

• maxSubmatrixSum函数中，先于动态规划矩阵 $dp$ 的初始化，然后i循环变量代表矩阵的行坐标，j循环变量代表矩阵的列坐标，在循环中，如果 $i=0$ 或 $j=0$，那么 $dp[i][j]$ 的值就等于 $matrix[i][j]$。否则，$dp[i][j]$ 的值就等于 $matrix[i][j]$ 加上 $dp[i-1][j]$ 和 $dp[i][j-1]$ 的和再减去 $dp[i-1][j-1]$，这是一个预处理的过程。
• 随后对每一个位置 $(i,j)$，从中取出最大的子矩阵和。对于每一个矩阵，我们需要检查其各个子矩阵是否更大。因此，我们在 $(i,j)$ 的位置上查询所有的 $dp[i][j]-dp[k][j]$ 和 $dp[i][j]-dp[i][k]$，其中 $k<i$，$k<j$，以得到所有可能的子矩阵。
• 在main函数中，声明一个 $5\times5$ 的二维矩阵，并使用一个 $5$ 行 $4$ 列的二维数组 $p$ 来储存该矩阵，将 $result$ 所带有的最大子矩阵和打印出来。

总结

本文介绍了一个解决二维矩阵最大子矩阵和问题的C语言程序，使用了动态规划的思想，分别预处理了所有的 $dp[i][j]$ 和最终答案，从而得到了正确的结果。这个程序可以直接应用于实际的二维矩阵问题中。