总和为0的最大矩形子矩阵

介绍

在一个二维矩阵中，找到一个子矩阵，该子矩阵中所有元素的总和为0且该子矩阵的面积最大。

这个问题可以用动态规划来解决，时间复杂度为O(n^3)，其中n为矩阵的大小。

动态规划思路

定义一个n*n的二维数组dp，其中dp[i][j]表示左上角为(0,0)，右下角为(i-1,j-1)的子矩阵中所有元素的总和。则子矩阵(x1,y1)到(x2,y2)的总和可以表示为：

dp[x2+1][y2+1]-dp[x1][y2+1]-dp[x2+1][y1]+dp[x1][y1]

注意到所有元素总和为0，我们可以枚举上下边界，然后在该边界范围内将每一列的和依次累加起来，得到一个一维数组。这时问题转化为了求该一维数组中所有元素的和为0，且该子数组的长度最大。

我们可以使用哈希表来记录每个前缀和的最早出现位置，对于每个前缀和，我们在哈希表中查找是否有等于该前缀和的位置，如果找到了，则表示找到了一个元素总和为0的子数组，更新最大长度。然后将当前前缀和的位置存入哈希表中。

代码实现

def max_submatrix(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j] - dp[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1]

    ans = 0
    for top in range(n):
        row_sum = [0] * m
        for bottom in range(top, n):
            cur_sum = 0
            for j in range(m):
                row_sum[j] += dp[bottom + 1][j + 1] - dp[top][j + 1] - dp[bottom + 1][j] + dp[top][j]
                cur_sum += row_sum[j]
                if cur_sum == 0:
                    ans = max(ans, (bottom - top + 1) * (j + 1))
            dict = {}
            for i, num in enumerate(row_sum):
                if cur_sum - num in dict:
                    j = dict[cur_sum - num]
                    ans = max(ans, (bottom - top + 1) * (i - j))
                if num not in dict:
                    dict[num] = i
    return ans

以上代码是Python实现的，时间复杂度为O(n^3)。