总和可被 k 整除的最大矩形子矩阵介绍

1. 问题描述

给定一个矩阵，找出其中总和可被 k 整除的最大矩形子矩阵。矩形子矩阵可以是任意大小的，但必须是正方形或矩形。

例如，对于以下矩阵：

[
  [1, 0, 1],
  [0, -2, 3]
]

其中，总和可被 2 整除的最大矩形子矩阵是：

[
  [1, 0],
  [0, -2]
]

2. 解决思路

2.1 朴素解法

我们可以枚举所有的子矩阵，计算其总和，然后再判断是否能被 k 整除。时间复杂度为 $O(n^4)$。

2.2 优化解法

考虑将矩阵中的行数作为一个变量，对于每个行数，我们将矩阵逐列进行累加，并将累加后的结果作为一个新的一维数组。对于该一维数组，我们可以在其中寻找使得总和能被 k 整除的最长连续子数组。这一步可以借助前缀和和哈希表实现。时间复杂度为 $O(n^2)$。

2.3 代码实现

以下是本题的 Python 代码实现，其中包括了以上优化思路的实现：

class Solution:
    def maxSumSubmatrix(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:
        rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
        res = float('-inf')
        for left in range(cols):
            row_sum = [0] * rows
            for right in range(left, cols):
                for i in range(rows):
                    row_sum[i] += matrix[i][right]
                res = max(res, self.helper(row_sum, k))
        return res

    def helper(self, arr: List[int], k: int) -> int:
        s = 0
        max_len = float('-inf')
        d = {0: -1}
        for i, num in enumerate(arr):
            s += num
            if k != 0:
                s %= k
            if s in d:
                max_len = max(max_len, i - d[s])
            else:
                d[s] = i
        return max_len if max_len != float('-inf') else 0

3. 总结

本题采用了前缀和和哈希表的思想，通过对矩阵进行逐列的累加来减少统计总和的时间复杂度，最终时间复杂度为 $O(n^2)$。同时，本题还考察了对哈希表的基本应用，包括如何初始化并使用哈希表，以及如何判断哈希表中是否存在某个键。