给定数组中可被 K 整除的元素的最大总和

题目描述

给定一个长度为 N 的整数数组 nums 和一个正整数 K，找出可以被 K 整除的数组元素的最大总和。

解题思路

可以使用动态规划的思想来解决这个问题。

定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示对于前 i 个数组成的子数组，能够被 K 整除且余数为 j 的元素的最大总和。

然后进行遍历，对于每个元素 nums[i]，考虑其能否被 K 整除，如果可以，那么 dp[i][j] 可以由 dp[i-1][j] 和 dp[i-1][(j-nums[i]%K+K)%K] 两个值中取最大值得到。

具体的，如果 nums[i] % K == 0，那么 dp[i][j] = dp[i-1][j] + nums[i]；如果 nums[i] % K != 0，那么 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][(j-nums[i]%K+K)%K] + nums[i])。

最终的答案为 dp[N][0]，因为对于任意一个整数 x，都有 x%K >= 0，所以 dp[N][0] 表示的就是数组中元素能够被 K 整除的最大总和。

代码实现

def max_sum_divisible_by_k(nums: List[int], K: int) -> int:
    N = len(nums)
    dp = [[0] * K for _ in range(N+1)]

    for i in range(1, N+1):
        for j in range(K):
            if nums[i-1] % K == 0:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + nums[i-1]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][(j-nums[i-1]%K+K)%K] + nums[i-1])
    
    return dp[N][0]

# 示例
nums = [4,5,0,-2,-3,1]
K = 5
max_sum = max_sum_divisible_by_k(nums, K)
print(max_sum)  # 输出 7

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N\times K)$，其中 $N$ 是数组的长度，$K$ 是正整数。需要遍历整个数组，对于每个元素都需要计算其能否被 K 整除，因此时间复杂度为 $O(N\times K)$。
• 空间复杂度：$O(N\times K)$，需要使用一个二维数组来记录状态，因此空间复杂度为 $O(N\times K)$。