最小化构造数组中的最大元素，总和可被 K 整除

问题描述

给定一个整数数组 nums 和一个正整数 K，你需要

• 将这个数组划分为几个连续的子数组，每个子数组的长度都不能超过 K。
• 划分完成后，每个子数组的和需要满足总和可被 K 整除。即 $\sum_{i=0}^{n-1}A_i$ % K == 0

返回可以划分的最小子数组数。

示例

输入：

nums = [1,2,3], K = 3

输出：

1

解释：

nums 可以划分为 [1,2,3]

算法思路

首先我们可以定义一个数组 $dp$，其中 $dp[i]$ 表示将前 $i$ 个元素进行划分，每个子数组的和能够被 $K$ 整除的子数组的最小个数。

考虑一组正确的数据，它符合最后一段的长度小于等于 $K$，同时每一段都能被 $K$ 整除。如果我们把最后一段去掉，那么得到的子数组数量 $dp[i-1]$ 是符合要求的。现在只需要判断 $[i-K,i-1]$ 这个区间和是否能够被 $K$ 整除，如果可以，那么将最后一段的长度增加 $1$ 即可，这时 $dp[i]$ 就可以从 $dp[i-1]$ 转移而来。

代码实现

def max_sum_divisible_by_k(nums, K):
    n = len(nums)
    dp = [float('inf')] * (n + 1)
    dp[0] = 0

    for i in range(1, n+1):
        s = 0
        for j in range(i-1, max(-1, i-K-1), -1):
            s += nums[j]
            if s % K == 0:
                dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)

        if dp[i-1] != float('inf'):
            dp[i] = min(dp[i], dp[i-1] + 1)

    return dp[n] if dp[n] != float('inf') else -1

时间复杂度：$O(n \cdot K)$

空间复杂度：$O(n)$