矩阵的任何矩形的最大和不超过 K

在矩阵处理中，经常出现需要求矩阵中任意矩形的和的问题。而在一些实际应用中，可能会对矩阵的任何子矩形都要求其最大和不超过 K，这就需要运用一些特殊的算法。

问题描述

给定一个大小为 $m \times n$ 的矩阵 $matrix$，以及一个整数 $K$。找出矩阵中所有元素之和最大的子矩形，并保证这个最大和不超过 $K$。

解决方法

这个问题有多种解法，这里介绍两种:

1. 基于前缀和和二分的算法
2. 基于堆和双指针的滑动窗口算法

前缀和和二分

• 首先，我们可以对矩阵按行求前缀和，即记录每行中前 $i$ 个元素之和，整个矩阵每个元素之和可表示为一个矩阵 $s$，其中 $s_{i,j}$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的子矩阵的元素之和。
• 接着，对于每个矩形，我们只需要枚举其左右两列，将这两列间的所有行的前缀和累加即可得到该矩形的总和。由于我们需要找到最大和不超过 $K$ 的子矩阵，因此可将所有矩形的和排序，再用二分查找找到最大的和不超过 $K$ 的和。
• 复杂度分析：排序和二分查找的时间复杂度均为 $O(n^2 \log n)$，处理前缀和的时间复杂度为 $O(n^2)$，因此总的时间复杂度为 $O(n^2 \log n)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。

def max_sum_submatrix(matrix, k):
    """
    基于前缀和和二分的算法
    :param matrix: 矩阵
    :param k: 最大和
    :return: 最大和不超过 k 的子矩阵的和
    """
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    res = float('-inf')
    # 枚举所有矩阵
    for left in range(n):
        row_sum = [0] * m
        for right in range(left, n):
            for i in range(m):
                row_sum[i] += matrix[i][right]
            # 二分查找最大和不超过 k 的和
            accu_sum_set = sorted([0])
            accu_sum = 0
            for r in row_sum:
                accu_sum += r
                it = bisect_left(accu_sum_set, accu_sum - k)
                if it != len(accu_sum_set):
                    res = max(res, accu_sum - accu_sum_set[it])
                bisect.insort_left(accu_sum_set, accu_sum)
    return res

堆和双指针的滑动窗口算法

• 对于一个矩阵，我们可以将其压成一个一维数组 $arr$，其中 $arr_i$ 表示矩阵中第 $i$ 个元素。然后，我们对每个起点 $start$，计算以 $start$ 为起点的所有子矩阵的和，并将其加入一个小根堆 $h$，同时用一个变量 $sum$ 记录堆中元素之和，当 $sum > K$ 时，我们将堆中元素最小的元素弹出，继续计算。最后堆中的最大和就是所求。
• 已知一个起点 $start$ 后，我们可以用两个变量 $left$ 和 $right$ 表示当前滑动窗口的左右边界，其中 $left$ 一直固定为 $start$，$right$ 初始时等于 $start$，每次将 $right$ 向右移动一步，同时更新 $sum$，如果 $sum > K$，则将堆顶元素弹出并更新 $sum$，最后将新的和加入堆中。
• 复杂度分析：我们依然需要枚举所有矩形，而对于每个矩形，其处理时间为 $O(n \log n)$，因此总的时间复杂度为 $O(n^3 \log n)$，空间复杂度为 $O(n)$。

import heapq

def max_sum_submatrix(matrix, k):
    """
    基于堆和双指针的滑动窗口算法
    :param matrix: 矩阵
    :param k: 最大和
    :return: 最大和不超过 k 的子矩阵的和
    """
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    res = float('-inf')
    # 枚举起点
    for i in range(n):
        arr = [0] * m
        # 枚举终点
        for j in range(i, n):
            for r in range(m):
                arr[r] += matrix[r][j]
            # 计算当前滑动窗口的最大和
            heap, sum = [0], 0
            for a in arr:
                sum += a
                it = bisect.bisect_left(heap, sum - k)
                if it < len(heap):
                    res = max(res, sum - heap[it])
                heapq.heappush(heap, sum)
    return res

总结

两种算法均可以用于求解矩阵中任意子矩阵的最大和，并且都能够在较短的时间内得到结果。对于二者，前缀和和二分的算法时间复杂度相对较低，也较易实现；而基于堆和双指针的滑动窗口算法则是一种较为高效的算法，但代码相对较复杂，需要耗费更多的时间去理解和实现。