对于矩阵的任何矩形，最大和不能超过K

在许多经典编程问题中，矩阵问题一直是一个重要的研究领域。其中一个具有挑战性的问题是：如何找到矩阵中的一个子矩阵，使其所有元素的和最大且不超过K？这个问题在实际应用中有着广泛的应用，例如语音和图像处理，以及自然语言处理等领域。

算法思路

一个朴素的方法是遍历所有的矩阵子集，然后计算每个子集的总和，最后找出其中最大的不超过K的子矩阵。然而，这种方法非常低效，时间复杂度为 $O(n^6)$，并且不适合较大的矩阵。

一种更有效的解决方案是使用二维的前缀和（prefix sum）数组。前缀和是针对一维数组的一种技术，用于快速计算子数组的和。在二维的情况下，我们可以使用类似的技术来预处理一个包含每个子矩阵和的二维的前缀和数组。

在预处理完成后，我们可以使用两个指针以及一个单调递增的数据结构（例如有序集合）来查找最大和不超过K的子矩阵。

假设左上角坐标为 (x1, y1)，右下角坐标为 (x2, y2) 的子矩阵的和为 sum(x1, y1, x2, y2)。则预处理前缀和数组 preSum 的代码如下：

preSum = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]

for i in range(1, m+1):
    for j in range(1, n+1):
        preSum[i][j] = preSum[i-1][j] + preSum[i][j-1] - preSum[i-1][j-1] + matrix[i-1][j-1]

以上代码中，我们使用了一个 $m+1$ 行，$n+1$ 列的矩阵 preSum 来存储每个矩阵子集的和。matrix 为原始的 $m$ 行，$n$ 列的矩阵。

接下来，我们可以使用以下代码来枚举矩阵的左上角和右下角的坐标：

ans = float('-inf')
for x1 in range(1, m+1):
    for y1 in range(1, n+1):
        for x2 in range(x1, m+1):
            for y2 in range(y1, n+1):
                curSum = preSum[x2][y2] - preSum[x2][y1-1] - preSum[x1-1][y2] + preSum[x1-1][y1-1]
                if curSum <= K:
                    ans = max(ans, curSum)

这个代码片段的时间复杂度为 $O(n^4)$，并且能够有效地找到最大和不超过 K 的矩阵子集。但是，对于一些特殊的情况（例如 K 非常大的情况），上述算法的效率可能仍然很低。

更进一步，我们可以使用单调递增的数据结构来优化代码。比如使用有序集合。以下是具有该优化的解决方案的代码：

ans = float('-inf')
sumSet = SortedSet([0])
for x1 in range(1, m+1):
    for y1 in range(1, n+1):
        for x2 in range(x1, m+1):
            for y2 in range(y1, n+1):
                curSum = preSum[x2][y2] - preSum[x2][y1-1] - preSum[x1-1][y2] + preSum[x1-1][y1-1]
                index = sumSet.bisect_left(curSum - K)
                if index != len(sumSet):
                    ans = max(ans, curSum - sumSet[index])
                sumSet.add(curSum)

该算法的时间复杂度为 $O(n^2\log n)$，其中首先枚举左上角和右下角的坐标需要 $O(n^2)$ 的时间复杂度，接着内部计算每个子矩阵的和需要 $O(1)$ 的时间复杂度， 循环每次计算的子矩阵和是在前缀和数组的基础上的，需要 $O(mn)$ 的时间复杂度来计算前缀和数组，最后有序集合的维护是基于平衡树的，需要 $O(\log n)$ 的时间复杂度。

代码片段

def maxSumSubmatrix(matrix: List[List[int]], K: int) -> int:
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    preSum = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    ans = float('-inf')
    
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            preSum[i][j] = preSum[i-1][j] + preSum[i][j-1] - preSum[i-1][j-1] + matrix[i-1][j-1]
                
    for x1 in range(1, m+1):
        for y1 in range(1, n+1):
            for x2 in range(x1, m+1):
                for y2 in range(y1, n+1):
                    curSum = preSum[x2][y2] - preSum[x2][y1-1] - preSum[x1-1][y2] + preSum[x1-1][y1-1]
                    if curSum <= K:
                        ans = max(ans, curSum)
                        
    return ans


from sortedcontainers import SortedSet
def maxSumSubmatrix(matrix: List[List[int]], K: int) -> int:
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    preSum = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    ans = float('-inf')
    sumSet = SortedSet([0])
    
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            preSum[i][j] = preSum[i-1][j] + preSum[i][j-1] - preSum[i-1][j-1] + matrix[i-1][j-1]
            
    for x1 in range(1, m+1):
        for y1 in range(1, n+1):
            for x2 in range(x1, m+1):
                for y2 in range(y1, n+1):
                    curSum = preSum[x2][y2] - preSum[x2][y1-1] - preSum[x1-1][y2] + preSum[x1-1][y1-1]
                    index = sumSet.bisect_left(curSum - K)
                    if index != len(sumSet):
                        ans = max(ans, curSum - sumSet[index])
                    sumSet.add(curSum)
                        
    return ans

小结

在这篇文章中，我们介绍了如何在矩阵中查找最大和不超过 K 的子矩阵。我们首先介绍了一个朴素的算法，其时间复杂度为 $O(n^6)$，不适用于大型矩阵。另外，我们还介绍了一种高效的算法，其时间复杂度为 $O(n^2\log n)$，使用二维前缀和和单调递增数据结构。这种算法对于大型矩阵问题是非常有用的，并且在许多实际应用中都有广泛的应用。