矩形的最大子集，使得没有矩形适合任何其他矩形

问题描述

给定一个矩形的集合S，其中每个矩形都用左下角和右上角两个点来描述。我们需要找到其中的最大子集T，满足任意两个矩形在T中都没有交集。

解决方案

首先我们需要对矩形进行排序，按照右上角的x坐标从小到大排序。然后我们可以使用贪心算法来构建最大子集。

对于每个矩形，我们检查它是否与已选的矩形有交集。如果没有，就将其加入到最大子集中。如果有，就跳过这个矩形。

我们可以用一个集合S来记录已选的矩形，每次对于新的矩形，遍历集合S，检查其是否与已选的矩形有交集。

最后，我们返回集合S即可。

算法实现

def max_non_overlap_rectangles(rects):
    """
    :param rects: list of tuples (lower_left, upper_right)
    :return: set of rectangles
    """
    sorted_rects = sorted(rects, key=lambda r: r[1][0])
    selected_rects = set()
    for rect in sorted_rects:
        no_overlap = True
        for selected_rect in selected_rects:
            if overlap(rect, selected_rect):
                no_overlap = False
                break
        if no_overlap:
            selected_rects.add(rect)
    return selected_rects


def overlap(rect1, rect2):
    """
    :param rect1: tuple of two points (lower_left, upper_right)
    :param rect2: tuple of two points (lower_left, upper_right)
    :return: True if two rectangles overlap, False otherwise
    """
    return not (rect1[1][0] < rect2[0][0] or rect2[1][0] < rect1[0][0] or rect1[1][1] < rect2[0][1] or rect2[1][1] < rect1[0][1])

复杂度分析

时间复杂度为O(n^2)，其中n为矩形的个数。因为我们需要遍历每个矩形，对于每个矩形，我们需要遍历已选的矩形来检查是否有交集。因此，时间复杂度为O(n^2)。

空间复杂度为O(n)，因为我们需要存储已选的矩形，最多为n个。