矩阵链乘法的C# 程序 | DP-8

矩阵链乘法是一个经典的动态规划问题，解决的是如何在最少的乘法次数的前提下，将一系列矩阵相乘得到最终结果。本文将介绍一份C#程序来求解这个问题。

算法思路

使用动态规划的思路来解决这个问题，设 $m[i, j]$ 表示从第 $i$ 个矩阵开始，到第 $j$ 个矩阵结束，所需要的最小乘法次数，$p[i]$ 表示第 $i$ 个矩阵的行数和列数。对于 $m[i, j]$，它的最小值可以由以下公式来得到：

$$m[i, j]=\begin {cases}0,&i=j\ \min {i\leq k<j} {{m[i, k]+m[k+1, j]+p{i-1}p_{k}p_{j}}},& i<j\ \end {cases}$$

通过上面的公式，我们可以不断递推地求出 $m[1, n]$，即从第一个矩阵开始，到最后一个矩阵结束，所需要的最小乘法次数。

算法实现

以下是本程序的C#实现，其中 GetMatrixChainOrder 函数实现了上面所述的动态规划思路，并返回了最小乘法次数 $m[1, n]$。

public class MatrixChainMultiplication
{
    public int GetMatrixChainOrder(int[] p)
    {
        int n = p.Length - 1;

        int[,] m = new int[n + 1, n + 1];

        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            m[i, i] = 0;
        }

        for (int L = 2; L <= n; L++)
        {
            for (int i = 1; i <= n - L + 1; i++)
            {
                int j = i + L - 1;
                m[i, j] = int.MaxValue;

                for (int k = i; k < j; k++)
                {
                    int cost = m[i, k] + m[k + 1, j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];
                    if (cost < m[i, j])
                    {
                        m[i, j] = cost;
                    }
                }
            }
        }

        return m[1, n]; // 返回从第一个矩阵开始，到最后一个矩阵结束，所需要的最小乘法次数
    }
}

算法测试

下面我们来测试一下这个程序的正确性。我们取三个矩阵，矩阵的形状分别为 $10\times100$、$100\times5$、$5\times50$，则可以得到 $p = [10, 100, 5, 50]$，程序输出的结果应该为 $7500$。

int[] p = new int[] { 10, 100, 5, 50 };
var mcm = new MatrixChainMultiplication();
Console.WriteLine(mcm.GetMatrixChainOrder(p)); // 输出7500

测试结果正常，符合预期。

总结

矩阵链乘法是一道经典的动态规划问题，本文介绍了一份C#程序来求解这个问题。重点介绍了算法的思路和实现，同时也给出了一个测试用例来验证程序的正确性。