矩阵链乘法 | DP-8

矩阵链乘法指的是将多个矩阵相乘的问题，如何通过最少的乘法次数得到结果。这个问题可以用动态规划来解决，时间复杂度为O(n^3)。

算法步骤

假设有n个矩阵需要相乘，设Ai为第i个矩阵的行列数，例如A1为m1 x n1的矩阵，A2为n1 x m2的矩阵，A3为m2 x n3的矩阵，以此类推。

1. 定义状态：设dp[i][j]为第i个矩阵到第j个矩阵间最小乘法次数。
2. 初始化状态：对于dp[i][i]，乘法次数为0。
3. 状态转移方程：对于dp[i][j]，枚举i到k，分成i到k和k+1到j两个子问题，得到状态转移方程为：dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + Ai * Ak * Aj)。
4. 最终解：dp[1][n]为最终答案。

代码实现

以下是C++的实现代码：

const int MAXN = 100;
int dp[MAXN][MAXN];

int matrix_chain_multiply(int A[], int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) dp[i][i] = 0;

    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++) {
            int j = i + len - 1;
            dp[i][j] = INT_MAX;
            for (int k = i; k < j; k++) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + A[i-1] * A[k] * A[j]);
            }
        }
    }

    return dp[1][n];
}

其中，A[]为存储每个矩阵行列数的数组，n为矩阵个数。如果需要输出具体的乘法顺序，可以再定义一个s数组，表示第i个矩阵到第j个矩阵中的最后一次乘法是在哪里做的，即：s[i][j] = k，表示dp[i][j]是由dp[i][k]和dp[k+1][j]相乘得到的。