矩阵转置-矩阵 | 12年级数学

简介

矩阵转置，就是将一个矩阵的行和列交换位置，得到一个新的矩阵。对于一个 $m \times n$ 矩阵 $A$，它的转置矩阵是一个 $n \times m$ 的矩阵 $A^T$，其中 $A^T$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列的元素。

矩阵减法，就是将两个矩阵按照相同位置的元素相减得到一个新的矩阵。对于两个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$，它们的差矩阵是一个 $m \times n$ 的矩阵 $C$，其中 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素减去 $B$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

程序实现

Python

def matrix_transpose(matrix):
    return [[matrix[j][i] for j in range(len(matrix))] for i in range(len(matrix[0]))]
    
def matrix_subtraction(matrix1, matrix2):
    return [[matrix1[i][j] - matrix2[i][j] for j in range(len(matrix1[0]))] for i in range(len(matrix1))]

JavaScript

function matrixTranspose(matrix) {
  return matrix[0].map((column, index) => matrix.map(row => row[index]));
}

function matrixSubtraction(matrix1, matrix2) {
  return matrix1.map((row, index1) => row.map((value, index2) => value - matrix2[index1][index2]));
}

使用示例

对于矩阵 $A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}$ 和 $B = \begin{bmatrix}7 & 8 & 9 \ 10 & 11 & 12\end{bmatrix}$，它们的转置矩阵分别是：

$$A^T = \begin{bmatrix}1 & 4 \ 2 & 5 \ 3 & 6\end{bmatrix}, B^T = \begin{bmatrix}7 & 10 \ 8 & 11 \ 9 & 12\end{bmatrix}$$

它们的差矩阵是：

$$A - B = \begin{bmatrix}-6 & -6 & -6 \ -6 & -6 & -6\end{bmatrix}$$

使用 Python 进行计算：

A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
B = [[7, 8, 9], [10, 11, 12]]

A_transpose = matrix_transpose(A)
B_transpose = matrix_transpose(B)

A_B_subtraction = matrix_subtraction(A, B)

print("A^T =", A_transpose)
print("B^T =", B_transpose)
print("A - B =", A_B_subtraction)

使用 JavaScript 进行计算：

const A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]];
const B = [[7, 8, 9], [10, 11, 12]];

const ATranspose = matrixTranspose(A);
const BTranspose = matrixTranspose(B);

const AMinusB = matrixSubtraction(A, B);

console.log("A^T =", ATranspose);
console.log("B^T =", BTranspose);
console.log("A - B =", AMinusB);

总结

本文介绍了矩阵转置和矩阵减法的概念和实现方法，并提供了 Python 和 JavaScript 的代码片段以供参考。矩阵运算在计算机科学、工程学、经济学、物理学等领域都有应用，是一项重要的运算操作。