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📜  矩阵及其类型| 12年级数学

📅  最后修改于: 2021-06-24 17:23:21             🧑  作者: Mango

具有条目的结构的矩形阵列称为矩阵。矩阵具有一个或多个行和列。矩阵中的每个条目都可以包含数字，字母，符号等。水平线中的条目称为行，垂直线中的条目称为列。每个条目都属于一行和一列。矩阵用[A] m×n表示，其中m是矩阵中存在的行数，n是列中的列数。矩阵的元素可以表示为ij ，其中i和j是元素所属的第i行第j列。 i和j相等(即行号和列号相等)的元素称为对角元素。矩阵A可以写成：

\begin{bmatrix} a_{11}& a_{11} & a_{11} &. & . &. & a_{11}\\ a_{11} & a_{11} & a_{11} & . &. &. & a_{11} \\ a_{11}& a_{11} & a_{11} & . &. &. & a_{11} \\ .&. &. &. &. &. &. \\ . &. &. &. &. &. &. \\ . &. &. &. &. &. &. \\ . & . &. &. &. &. &. \\ a_{11}& a_{11} & a_{11} &. &. &. & a_{11} \end{bmatrix}_{m\times n}

矩阵示例

\begin{bmatrix} 1& 5 &8 &5 \\ 3& 4 &0 & 12 \\ 7& 2 &3 & 10 \\ \end{bmatrix}_{3\times 4}

矩阵的类型

矩阵的类型很多。我们将一一讨论：

行矩阵

仅包含一行且不包含任何列的矩阵称为行矩阵。

例子：

\begin{bmatrix} 1& 3&7 \end{bmatrix}_{1\times 3}

列矩阵

仅包含一列而没有任何行的矩阵称为列矩阵。

例子：

\begin{bmatrix} 1\\ 15 \\ 4\\ 5 \\ \end{bmatrix}_{4\times 1}

单例矩阵

仅具有一个元素的矩阵称为单例矩阵。在这种类型的矩阵中，列数和行数等于1。

例子：

\begin{bmatrix} 5 \end{bmatrix}_{1\times 1}

矩形矩阵

行和列数不相等的矩阵称为矩形矩阵。矩形矩阵可以表示为[A] m×n

例子：

\begin{bmatrix} 1& 3 &7 &15 \\ 3& 4 &6 & 11 \\ 5& 2 &9 & 8 \\ \end{bmatrix}_{3\times 4}

方阵

行数相等且列数相等的矩阵称为方矩阵。通常，用于方矩阵的表示是[A] n×n 。

例子：

\begin{bmatrix} 8& 3 &2 \\ 6& 4 &6 \\ 5& 7 &9 \\ \end{bmatrix}_{3\times 3}

空矩阵

所有元素都为0的矩阵称为空矩阵。

例子：

\begin{bmatrix} 0& 0 &0 \\ 0& 0 &0 \\ 0& 0 &0 \\ \end{bmatrix}_{3\times 3}

对角矩阵

除对角元素外，所有元素均为0的矩阵称为对角矩阵。

例子：

\begin{bmatrix} 8& 0 &0 \\ 0& 4 &0 \\ 0& 0 &9 \\ \end{bmatrix}_{3\times 3}

标量矩阵

除了对角线元素和所有对角线元素都相同之外，所有元素都为0的矩阵称为标量矩阵。它是一种对角矩阵，其中所有对角元素均相同。

例子：

\begin{bmatrix} 4& 0 &0 \\ 0& 4 &0 \\ 0& 0 &4 \\ \end{bmatrix}_{3\times 3}

身份矩阵

它是一种标量矩阵，其中所有对角元素均为1，所有非对角元素均为0。恒等矩阵始终具有相等数量的行和列。

例子：

\begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 &1 \\ \end{bmatrix}_{3\times 3}

上三角矩阵

该矩阵是一种正方形矩阵，其所有元素在对角线以下均为0。

例子：

\begin{bmatrix} 8& 5 &6 \\ 0& 4 &7 \\ 0& 0 &9 \\ \end{bmatrix}_{3\times 3}

下三角矩阵

此矩阵是一种正方形矩阵，其中对角线上方的所有元素均为0。

例子：

\begin{bmatrix} 8& 0 &0 \\ 6& 4 &0 \\ 5& 7 &9 \\ \end{bmatrix}_{3\times 3}

矩阵的痕迹

矩阵的对角元素之和称为矩阵的迹线。矩阵A的迹线可以表示为tr(A)。只能为方矩阵计算矩阵的迹线。

例子：

矩阵痕迹的性质

i)两个矩阵之和的迹线等于单个矩阵的迹线之和。

解释：

ii)矩阵的迹线乘以某个标量等于矩阵的迹线与标量的乘积。

解释：